O que o exercício pede: encontrar, no sentido dos mínimos quadrados, uma solução \vec{x}=(x_1,x_2,x_3)^T e informar o valor de x_1. Foi dada uma lista de alternativas (A) a (H).]
Passo 2
Explicando o método de mínimos quadrados (passo didático): quando temos mais equações do que incógnitas (sistema sobredeterminado), pode não existir solução exata. A ideia dos mínimos quadrados é encontrar \vec{x} que minimize a soma dos quadrados dos resíduos, ou seja minimizar \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2.
A condição necessária e suficiente para \vec{x} minimizar \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2 é a equação normal
A^T A \vec{x} = A^T \vec{b}.
Explicando por que: o vetor dos resíduos é \vec{r}=A\vec{x}-\vec{b}. A condição de óptimo é que \vec{r} seja ortogonal a todas as colunas de A, o que se escreve A^T\vec{r}=0, levando diretamente a A^T A\vec{x}=A^T\vec{b}. Então nosso objetivo é calcular A^T A e A^T\vec{b} e resolver esse sistema (as chamadas equações normais).
Passo 3
Para facilitar os cálculos, escrevo as colunas de A:
Logo \vec{r}=A\vec{x}-\vec{b}=(1,-1,-1,-1)^T. Verifica-se que A^T\vec{r}=0 (produtos internos com cada coluna dão zero), o que confirma que \vec{x} satisfaz as equações normais e é a solução de mínimos quadrados adequada.]