Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 & 2 \\\\ -1 & -2 & 1 & 2 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{1}, a 1^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear representado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & 0 & 3 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 & 2 \\\\ -1 & -2 & 1 & 2 \end{array}\right]
Isto corresponde às quatro equações (cada linha) em três incógnitas x_1,x_2,x_3. As informações relevantes extraídas:
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 3\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}
  • o vetor dos termos independentes é
\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]2\end{pmatrix}.
O que o exercício pede: encontrar, no sentido dos mínimos quadrados, uma solução \vec{x}=(x_1,x_2,x_3)^T e informar o valor de x_1. Foi dada uma lista de alternativas (A) a (H).]

Passo 2

Explicando o método de mínimos quadrados (passo didático): quando temos mais equações do que incógnitas (sistema sobredeterminado), pode não existir solução exata. A ideia dos mínimos quadrados é encontrar \vec{x} que minimize a soma dos quadrados dos resíduos, ou seja minimizar \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2.
A condição necessária e suficiente para \vec{x} minimizar \|A\vec{x}-\vec{b}\|^2 é a equação normal
A^T A \vec{x} = A^T \vec{b}.
Explicando por que: o vetor dos resíduos é \vec{r}=A\vec{x}-\vec{b}. A condição de óptimo é que \vec{r} seja ortogonal a todas as colunas de A, o que se escreve A^T\vec{r}=0, levando diretamente a A^T A\vec{x}=A^T\vec{b}. Então nosso objetivo é calcular A^T A e A^T\vec{b} e resolver esse sistema (as chamadas equações normais).

Passo 3

Para facilitar os cálculos, escrevo as colunas de A:
\text{coluna 1 }c_1=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\quad \text{coluna 2 }c_2=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\\\ -2\end{pmatrix},\quad \text{coluna 3 }c_3=\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Os elementos de A^T A são produtos internos entre essas colunas: (A^T A)_{ij}=c_i\cdot c_j. Vou calcular cada entrada por produto escalar.

Passo 4

Cálculo das entradas de A^T A por produtos internos:
\begin{aligned} (A^T A)_{11} &= c_1\cdot c_1 = (-1)^2+(-1)^2+1^2+(-1)^2 = 1+1+1+1=4,\\[4pt] (A^T A)_{12} &= c_1\cdot c_2 = (-1)\cdot0+(-1)\cdot0+1\cdot2+(-1)\cdot(-2)=0+0+2+2=4,\\[4pt] (A^T A)_{13} &= c_1\cdot c_3 = (-1)\cdot3+(-1)\cdot1+1\cdot1+(-1)\cdot1=-3-1+1-1=-4,\\[4pt] (A^T A)_{22} &= c_2\cdot c_2 = 0^2+0^2+2^2+(-2)^2=0+0+4+4=8,\\[4pt] (A^T A)_{23} &= c_2\cdot c_3 = 0\cdot3+0\cdot1+2\cdot1+(-2)\cdot1=0+0+2-2=0,\\[4pt] (A^T A)_{33} &= c_3\cdot c_3 = 3^2+1^2+1^2+1^2=9+1+1+1=12. \end{aligned}
Como A^T A é simétrica, obtemos
A^T A=\begin{pmatrix} 4 & 4 & -4\\[4pt] 4 & 8 & 0\\[4pt] -4 & 0 & 12 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculo A^T\vec{b}; seus componentes são c_i\cdot\vec{b}.
\begin{aligned} c_1\cdot\vec{b} &= (-1)\cdot0+(-1)\cdot0+1\cdot2+(-1)\cdot2 = 0+0+2-2=0,\\[4pt] c_2\cdot\vec{b} &= 0\cdot0+0\cdot0+2\cdot2+(-2)\cdot2 = 0+0+4-4=0,\\[4pt] c_3\cdot\vec{b} &= 3\cdot0+1\cdot0+1\cdot2+1\cdot2 = 0+0+2+2=4. \end{aligned}
Portanto
A^T\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Escrevendo as equações normais \;A^T A \vec{x}=A^T\vec{b}\;, temos o sistema linear
\begin{pmatrix} 4 & 4 & -4\\[4pt] 4 & 8 & 0\\[4pt] -4 & 0 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]4\end{pmatrix}.
Vou resolver passo a passo.
Da segunda equação:
4x_1+8x_2=0 \quad\Rightarrow\quad x_1+2x_2=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=-2x_2.
Substituo em primeira equação:
4x_1+4x_2-4x_3=0 \quad\Rightarrow\quad 4(-2x_2)+4x_2-4x_3=0
\Rightarrow\quad -8x_2+4x_2-4x_3=0 \quad\Rightarrow\quad -4x_2-4x_3=0
\Rightarrow\quad x_2+x_3=0 \quad\Rightarrow\quad x_3=-x_2.
Agora uso a terceira equação:
-4x_1+0\cdot x_2+12x_3=4.
Substituindo x_1=-2x_2 e x_3=-x_2:
-4(-2x_2)+12(-x_2)=4 \quad\Rightarrow\quad 8x_2-12x_2=4
\Rightarrow\quad -4x_2=4 \quad\Rightarrow\quad x_2=-1.
Com x_2=-1 vem x_1=-2x_2=2 e x_3=-x_2=1. Assim a solução dos mínimos quadrados é
\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (condição de ótimo): o resíduo é \vec{r}=A\vec{x}-\vec{b}. Calculando A\vec{x}:
A\vec{x}=\begin{pmatrix} -1\cdot2+0\cdot(-1)+3\cdot1\\[2pt] -1\cdot2+0\cdot(-1)+1\cdot1\\[2pt] 1\cdot2+2\cdot(-1)+1\cdot1\\[2pt] -1\cdot2-2\cdot(-1)+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Logo \vec{r}=A\vec{x}-\vec{b}=(1,-1,-1,-1)^T. Verifica-se que A^T\vec{r}=0 (produtos internos com cada coluna dão zero), o que confirma que \vec{x} satisfaz as equações normais e é a solução de mínimos quadrados adequada.]

Resposta

(F) 2

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