Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 1 \\\\ 2 \\\\ 4 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 4 \\\\ 8 \\\\ -3 \\\\ -4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ -3 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 6 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 4 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(4,6,-21,-6,0).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma base ortogonal de \mathbb{R}^5, chamada \beta, cujos vetores (na ordem) são
\begin{array}{l} \vec{b}_1=\left[\begin{array}{r}-4\\[2pt]1\\[2pt]2\\[2pt]4\\[2pt]-1\end{array}\right],\quad \vec{b}_2=\left[\begin{array}{r}-2\\[2pt]-1\\[2pt]2\\[2pt]-2\\[2pt]3\end{array}\right],\quad \vec{b}_3=\left[\begin{array}{r}3\\[2pt]4\\[2pt]8\\[2pt]-3\\[2pt]-4\end{array}\right],\\[6pt] \vec{b}_4=\left[\begin{array}{r}-3\\[2pt]2\\[2pt]-2\\[2pt]-3\\[2pt]-2\end{array}\right],\quad \vec{b}_5=\left[\begin{array}{r}1\\[2pt]6\\[2pt]-1\\[2pt]1\\[2pt]4\end{array}\right]. \end{array}
  • O vetor \vec{v}=\left(4,6,-21,-6,0\right).
  • A base \beta é ortogonal (isto é, vetores distintos são ortogonais entre si).
    O que o problema pede: calcular a coordenada x_{4} do vetor \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}, ou seja, o quarto coeficiente da representação de \vec{v} na base \beta. A dica diz que não é necessário resolver um sistema linear.]

Passo 2

Ideia teórica (muito didática e prática): se \beta=\{\vec{b}_1,\dots,\vec{b}_5\} é uma base ortogonal e
\vec{v}=x_1\vec{b}_1+x_2\vec{b}_2+\cdots+x_5\vec{b}_5,
então, tomando produto interno (produto escalar euclidiano) com \vec{b}_j obtemos
\langle \vec{v},\vec{b}_j\rangle = x_1\langle\vec{b}_1,\vec{b}_j\rangle+\cdots+x_j\langle\vec{b}_j,\vec{b}_j\rangle+\cdots+x_5\langle\vec{b}_5,\vec{b}_j\rangle.
Como a base é ortogonal, \langle\vec{b}_i,\vec{b}_j\rangle=0 para i\neq j. Assim sobra apenas
\langle \vec{v},\vec{b}_j\rangle = x_j\,\langle\vec{b}_j,\vec{b}_j\rangle.
Dessa igualdade segue a fórmula prática para a coordenada x_j:
x_j=\dfrac{\langle \vec{v},\vec{b}_j\rangle}{\langle\vec{b}_j,\vec{b}_j\rangle}.
Aqui o produto interno é o produto escalar usual: para \vec{u}=(u_1,\dots,u_5) e \vec{w}=(w_1,\dots,w_5),
\langle\vec{u},\vec{w}\rangle = u_1w_1+u_2w_2+\cdots+u_5w_5.
Comentário amigo: por isso não é preciso resolver sistema linear — a ortogonalidade “desacopla” as coordenadas.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula para j=4. Primeiro, peguei o vetor \vec{b}_4 da base dada:
\vec{b}_4=\left[\begin{array}{r}-3\\[2pt]2\\[2pt]-2\\[2pt]-3\\[2pt]-2\end{array}\right].
Calcular \langle \vec{v},\vec{b}_4\rangle fazendo o produto termo a termo:
\langle \vec{v},\vec{b}_4\rangle =4\cdot(-3)+6\cdot2+(-21)\cdot(-2)+(-6)\cdot(-3)+0\cdot(-2).
Agora calculo cada produto:
4\cdot(-3)=-12,\quad 6\cdot2=12,\quad (-21)\cdot(-2)=42,\quad (-6)\cdot(-3)=18,\quad 0\cdot(-2)=0.
Somando:
\langle \vec{v},\vec{b}_4\rangle = -12+12+42+18+0 = 60.]

Passo 4

Agora calculo \langle\vec{b}_4,\vec{b}_4\rangle (o quadrado da norma de \vec{b}_4):
\langle\vec{b}_4,\vec{b}_4\rangle = (-3)^2+2^2+(-2)^2+(-3)^2+(-2)^2.
Calculando os termos:
(-3)^2=9,\quad 2^2=4,\quad (-2)^2=4,\quad (-3)^2=9,\quad (-2)^2=4.
Somando:
\langle\vec{b}_4,\vec{b}_4\rangle = 9+4+4+9+4 = 30.

Passo 5

Aplicando a fórmula da Passo 2 para x_4:
x_4=\dfrac{\langle \vec{v},\vec{b}_4\rangle}{\langle\vec{b}_4,\vec{b}_4\rangle}=\dfrac{60}{30}=2.
Pequeno incentivo: deu pouquíssima conta e foi direto — esse é o truque quando a base é ortogonal!

Resposta

2

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