Calcule o máximo divisor comum entre:
24,32 e 60 .

Passo 1

O enunciado dá os três inteiros 24, 32 e 60 e pede para calcular o máximo divisor comum entre eles. Ou seja, encontrar o maior inteiro positivo que divide simultaneamente 24, 32 e 60.

Passo 2

Vou explicar o que é máximo divisor comum (mdc) e duas formas simples de calcular:
  • Definição: o máximo divisor comum de inteiros a,b,c é o maior inteiro positivo que divide a, b e c ao mesmo tempo. Escreve-se \gcd(a,b,c).
  • Métodos que usarei (ambos são básicos e úteis em prova):
    1. Fatoração em primos: fatorar cada número em potências de primos e, para o mdc, tomar cada primo comum com o menor expoente entre os números.
    2. Algoritmo de Euclides (aplicado em pares): \gcd(a,b,c)=\gcd(\gcd(a,b),c). O algoritmo de Euclides calcula \gcd usando divisões sucessivas e restos.

Passo 3

Primeiro método — fatoração em primos. Vou fatorar passo a passo cada número (cada número escrito explicitamente conforme pedido):
  • Fatoração de 24:
    • 24\div2=12.
    • 12\div2=6.
    • 6\div2=3.
    • 3\div3=1.
      Assim, a fatoração prima é
    24 = 2^{3}\times 3.
  • Fatoração de 32:
    • 32\div2=16.
    • 16\div2=8.
    • 8\div2=4.
    • 4\div2=2.
    • 2\div2=1.
      Assim,
    32 = 2^{5}.
  • Fatoração de 60:
    • 60\div2=30.
    • 30\div2=15.
    • 15\div3=5.
    • 5\div5=1.
      Assim,
    60 = 2^{2}\times 3\times 5.

Passo 4

Agora aplico a regra do mdc com fatoração em primos: para cada primo que aparece em todos os três números, tomo a potência com o menor expoente entre as fatorações.
  • Os primos que aparecem nas fatorações são 2, 3 e 5.
  • Verificando presença em todos:
    • O primo 2 aparece em 24 com expoente 3, em 32 com expoente 5 e em 60 com expoente 2. Está em todos.
    • O primo 3 aparece em 24 e em 60, mas não aparece em 32. Logo, não é comum aos três.
    • O primo 5 aparece apenas em 60. Não é comum aos três.
Portanto, só o primo 2 é comum aos três. O menor expoente de 2 entre os três números é 2 (visto em 60). Assim, pela regra das fatorações, o mdc dos três números é a potência
2^{2}.

Passo 5

Segundo método — checagem com o algoritmo de Euclides (para confirmar o resultado). Uso \gcd(24,32,60)=\gcd(\gcd(24,32),60).
  • Calcular \gcd(24,32) com Euclides:
    • 32 = 24\cdot1 + 8.
    • 24 = 8\cdot3 + 0.
      Como o resto chegou a 0, \gcd(24,32)=8.
  • Agora calcular \gcd(8,60):
    • 60 = 8\cdot7 + 4.
    • 8 = 4\cdot2 + 0.
      Como o resto chegou a 0, \gcd(8,60)=4.
Podemos escrever o 4 encontrado como 2^{2}, que coincide com o resultado obtido pelo método da fatoração.

Passo 6

Interpretação final dos cálculos: ambos os métodos (fatoração em primos e algoritmo de Euclides) indicam que o máximo divisor comum de 24, 32 e 60 é a potência 2^{2}.

Resposta

4

Exercícios relacionados