Calcule o máximo divisor comum entre:
24,32 e 60 .
24,32 e 60 .
Passo 1
O enunciado dá os três inteiros
,
e
e pede para calcular o máximo divisor comum entre eles. Ou seja, encontrar o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
,
e
.
Passo 2
Vou explicar o que é máximo divisor comum (mdc) e duas formas simples de calcular:
- Definição: o máximo divisor comum de inteiros
é o maior inteiro positivo que divide , e ao mesmo tempo. Escreve-se . - Métodos que usarei (ambos são básicos e úteis em prova):
- Fatoração em primos: fatorar cada número em potências de primos e, para o mdc, tomar cada primo comum com o menor expoente entre os números.
- Algoritmo de Euclides (aplicado em pares):
. O algoritmo de Euclides calcula usando divisões sucessivas e restos.
Passo 3
Primeiro método — fatoração em primos. Vou fatorar passo a passo cada número (cada número escrito explicitamente conforme pedido):
-
Fatoração de
: -
. -
. -
. -
.
Assim, a fatoração prima é
-
-
Fatoração de
: -
. -
. -
. -
. -
.
Assim,
-
-
Fatoração de
: -
. -
. -
. -
.
Assim,
-
Passo 4
Agora aplico a regra do mdc com fatoração em primos: para cada primo que aparece em todos os três números, tomo a potência com o menor expoente entre as fatorações.
- Os primos que aparecem nas fatorações são
, e . - Verificando presença em todos:
- O primo
aparece em com expoente , em com expoente e em com expoente . Está em todos. - O primo
aparece em e em , mas não aparece em . Logo, não é comum aos três. - O primo
aparece apenas em . Não é comum aos três.
- O primo
Portanto, só o primo
é comum aos três. O menor expoente de
entre os três números é
(visto em
). Assim, pela regra das fatorações, o mdc dos três números é a potência
Passo 5
Segundo método — checagem com o algoritmo de Euclides (para confirmar o resultado). Uso
.
-
Calcular
com Euclides: -
. -
.
Como o resto chegou a, .
-
-
Agora calcular
: -
. -
.
Como o resto chegou a, .
-
Podemos escrever o
encontrado como
, que coincide com o resultado obtido pelo método da fatoração.
Passo 6
Interpretação final dos cálculos: ambos os métodos (fatoração em primos e algoritmo de Euclides) indicam que o máximo divisor comum de
,
e
é a potência
.
Resposta
4