Calcule o máximo divisor comum entre:
32 e 128 .
32 e 128 .
Passo 1
O enunciado dá dois números inteiros:
e
.
A pergunta é: qual é o máximo divisor comum (mdc) entre esses dois números? Ou seja, qual é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente e
?
A pergunta é: qual é o máximo divisor comum (mdc) entre esses dois números? Ou seja, qual é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
Passo 2
O que significa “divisor comum” e “máximo divisor comum”?
- Dizemos que um inteiro
é divisor de um inteiro se existe um inteiro tal que . - Um divisor comum de
e é um inteiro que divide ambos. - O máximo divisor comum,
, é o maior desses divisores comuns.
Uma ferramenta simples para calcular
é o algoritmo euclidiano: se
então
Isto permite reduzir o problema trocando
por
até o resto ser zero; quando o resto for zero, o
é o último divisor não nulo.
Breve intuição por que funciona: qualquer divisor comum de
e
também divide
, e inversamente qualquer divisor de
e
divide
. Assim os conjuntos de divisores comuns são os mesmos.
Passo 3
Aplicando o algoritmo euclidiano aos números (ordem não importa para o
):
Dividindo por
obtemos
Dividindo
O resto é
. Pelo algoritmo euclidiano, quando o resto é zero temos
Como
é simétrico, isto implica
Passo 4
Vou reforçar com outro método curto e didático: fatoração em primos.
Fatorando os dois números na base (pois ambos são potências de
):
Fatorando os dois números na base
Regra prática: o
é o produto dos fatores primos comuns com o menor expoente. Aqui o expoente mínimo é
, então
Os dois métodos concordam — beleza!
Passo 5
Dica prática para provas: sempre verifique se um número divide o outro. Se
divide
(ou vice-versa), então
é simplesmente o menor dos dois. Isso evita cálculos longos quando aplica.