Calcule o máximo divisor comum entre:
32 e 128 .

Passo 1

O enunciado dá dois números inteiros: 32 e 128.
A pergunta é: qual é o máximo divisor comum (mdc) entre esses dois números? Ou seja, qual é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente 32 e 128?

Passo 2

O que significa “divisor comum” e “máximo divisor comum”?
  • Dizemos que um inteiro d é divisor de um inteiro n se existe um inteiro k tal que n=d\cdot k.
  • Um divisor comum de a e b é um inteiro d que divide ambos.
  • O máximo divisor comum, \gcd(a,b), é o maior desses divisores comuns.
Uma ferramenta simples para calcular \gcd(a,b) é o algoritmo euclidiano: se
a=bq+r\quad\text{com }0\le r<b,
então
\gcd(a,b)=\gcd(b,r).
Isto permite reduzir o problema trocando (a,b) por (b,r) até o resto ser zero; quando o resto for zero, o \gcd é o último divisor não nulo.
Breve intuição por que funciona: qualquer divisor comum de a e b também divide a-bq=r, e inversamente qualquer divisor de b e r divide a=bq+r. Assim os conjuntos de divisores comuns são os mesmos.

Passo 3

Aplicando o algoritmo euclidiano aos números (ordem não importa para o \gcd):
Dividindo 128 por 32 obtemos
128 = 32 \times 4 + 0.
O resto é r=0. Pelo algoritmo euclidiano, quando o resto é zero temos
\gcd(128,32)=32.
Como \gcd é simétrico, isto implica
\gcd(32,128)=32.

Passo 4

Vou reforçar com outro método curto e didático: fatoração em primos.
Fatorando os dois números na base 2 (pois ambos são potências de 2):
32 = 2^5,\qquad 128 = 2^7.
Regra prática: o \gcd é o produto dos fatores primos comuns com o menor expoente. Aqui o expoente mínimo é \min(5,7)=5, então
\gcd(32,128)=2^5=32.
Os dois métodos concordam — beleza!

Passo 5

Dica prática para provas: sempre verifique se um número divide o outro. Se a divide b (ou vice-versa), então \gcd(a,b) é simplesmente o menor dos dois. Isso evita cálculos longos quando aplica.

Resposta

32

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