Usando o mdc, simplifique as frações
e
e verifique se são equivalentes.
Passo 1
O enunciado dá duas frações e pede duas coisas:
- Simplificar
usando o máximo divisor comum (mdc). - Simplificar
usando o mdc. - Verificar se as duas frações são equivalentes.
Informações relevantes (dados originais):
- Numeradores:
e . - Denominadores:
e .
Passo 2
O que é o mdc e por que usá-lo para simplificar frações.
- Definição curta:
(ou mdc) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente e . - Por que reduz frações: se
, então e com inteiros sem fator comum. Logo
então dividir numerador e denominador por
dá a forma irredutível da fração sem alterar seu valor.
- Como calcular o mdc na prática (algoritmo de Euclides): para
,
fazendo divisões sucessivas até o resto ser zero; o último divisor não nulo é o mdc.
Passo 3
Calcular
pelo algoritmo de Euclides.
Fazendo as divisões:
Como o resto ficou
, o último resto não nulo é
. Portanto
Passo 4
Simplificar
dividindo pelo mdc
.
Dividindo:
Logo a fração simplificada é
Passo 5
Calcular
pelo algoritmo de Euclides.
Fazendo as divisões:
Logo
Passo 6
Simplificar
dividindo pelo mdc
.
Dividindo:
Logo a fração simplificada é
Passo 7
Verificar se as frações são equivalentes.
- Observação direta: ambas as frações simplificaram para a mesma fração irreduzível
. Se duas frações têm a mesma forma irredutível, elas são equivalentes. - Checagem por multiplicação cruzada (confirmação numérica):
os produtos cruzados são iguais, portanto as frações são equivalentes.
Resposta
Equivalentes: Sim