Usando o mdc, simplifique as frações 42 / 105 e 36 / 90 e verifique se são equivalentes.

Passo 1

O enunciado dá duas frações e pede duas coisas:
  • Simplificar \dfrac{42}{105} usando o máximo divisor comum (mdc).
  • Simplificar \dfrac{36}{90} usando o mdc.
  • Verificar se as duas frações são equivalentes.
Informações relevantes (dados originais):
  • Numeradores: 42 e 36.
  • Denominadores: 105 e 90.

Passo 2

O que é o mdc e por que usá-lo para simplificar frações.
  • Definição curta: \gcd(a,b) (ou mdc) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b.
  • Por que reduz frações: se d=\gcd(a,b), então a= d\cdot a' e b=d\cdot b' com inteiros a',b' sem fator comum. Logo
\frac{a}{b}=\frac{d\cdot a'}{d\cdot b'}=\frac{a'}{b'},
então dividir numerador e denominador por d dá a forma irredutível da fração sem alterar seu valor.
  • Como calcular o mdc na prática (algoritmo de Euclides): para a>b,
\gcd(a,b)=\gcd(b,\,a\bmod b),
fazendo divisões sucessivas até o resto ser zero; o último divisor não nulo é o mdc.

Passo 3

Calcular \gcd(42,105) pelo algoritmo de Euclides.
Fazendo as divisões:
105 = 42\cdot 2 + 21,
42 = 21\cdot 2 + 0.
Como o resto ficou 0, o último resto não nulo é 21. Portanto
\gcd(42,105)=21.

Passo 4

Simplificar \dfrac{42}{105} dividindo pelo mdc 21.
Dividindo:
\frac{42}{21}=2,\qquad \frac{105}{21}=5.
Logo a fração simplificada é
\frac{42}{105}=\frac{2}{5}.

Passo 5

Calcular \gcd(36,90) pelo algoritmo de Euclides.
Fazendo as divisões:
90 = 36\cdot 2 + 18,
36 = 18\cdot 2 + 0.
Logo
\gcd(36,90)=18.

Passo 6

Simplificar \dfrac{36}{90} dividindo pelo mdc 18.
Dividindo:
\frac{36}{18}=2,\qquad \frac{90}{18}=5.
Logo a fração simplificada é
\frac{36}{90}=\frac{2}{5}.

Passo 7

Verificar se as frações são equivalentes.
  • Observação direta: ambas as frações simplificaram para a mesma fração irreduzível \dfrac{2}{5}. Se duas frações têm a mesma forma irredutível, elas são equivalentes.
  • Checagem por multiplicação cruzada (confirmação numérica):
42\cdot 90 = 3780,\qquad 36\cdot 105 = 3780,
os produtos cruzados são iguais, portanto as frações são equivalentes.

Resposta

\dfrac{42}{105} = \dfrac{2}{5}
\dfrac{36}{90} = \dfrac{2}{5}
Equivalentes: Sim

Exercícios relacionados