Calcule a média aritmética, mediana, moda, primeiro quartil, terceiro quartil, décimo percentil e vigésimo percentil das distribuições abaixo:
c.
c.
SALÁRIOS <br> (RS) |
|
---|---|
|
18 |
|
31 |
|
15 |
|
3 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular várias medidas estatísticas – média aritmética, mediana, moda, primeiro quartil, terceiro quartil, décimo percentil e vigésimo percentil – para uma distribuição de salários. A tabela que temos mostra os intervalos de salários e a frequência de cada intervalo. Para isso, vamos precisar entender de estatística básica e como trabalhar com distribuições de classes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média aritmética. A média é a soma de todos os valores multiplicados pelas suas respectivas frequências, dividida pelo total de observações. Mas como temos intervalos, vamos usar o ponto médio de cada classe como representante.
Fórmula da Média:
onde $ x_i $ é o ponto médio de cada classe, $ f_i $ é a frequência da classe e $ N $ é o total de observações.
Passo 3
Vamos encontrar o ponto médio ($ x_i $) de cada intervalo:
- 500–700: $ \frac{500 + 700}{2} = 600 $
- 700–900: $ \frac{700 + 900}{2} = 800 $
- 900–1100: $ \frac{900 + 1100}{2} = 1000 $
- 1100–1300: $ \frac{1100 + 1300}{2} = 1200 $
- 1300–1500: $ \frac{1300 + 1500}{2} = 1400 $
- 1500–1700: $ \frac{1500 + 1700}{2} = 1600 $
- 1700–1900: $ \frac{1700 + 1900}{2} = 1800 $
Passo 4
Agora, vamos multiplicar cada ponto médio pela sua frequência e somar tudo:
Passo 5
O total de observações ($ N $) é 70, conforme a tabela.
Agora, aplicando na fórmula da média:
Passo 6
Vamos calcular a mediana, que é o valor central da distribuição. Como temos uma distribuição em classes, usamos a fórmula da mediana para dados agrupados:
onde:
- $ L $ = limite inferior da classe mediana
- $ N $ = total de observações
- $ F $ = frequência acumulada antes da classe mediana
- $ f $ = frequência da classe mediana
- $ c $ = amplitude da classe
Passo 7
Primeiro, vamos construir a tabela com frequências acumuladas:
SALÁRIOS (RS) | $ f_i $ | $ F_i $ |
---|---|---|
500–700 | 18 | 18 |
700–900 | 31 | 49 |
900–1100 | 15 | 64 |
1100–1300 | 3 | 67 |
1300–1500 | 1 | 68 |
1500–1700 | 1 | 69 |
1700–1900 | 1 | 70 |
A mediana está na posição $ \frac{70}{2} = 35 $.
Observando a tabela, a frequência acumulada de 18 não chega a 35, mas com o próximo intervalo chega a 49. Então, a classe mediana é 700–900.
Passo 8
Aplicando a fórmula da mediana:
- $ L = 700 $
- $ N/2 = 35 $
- $ F = 18 $ (frequência acumulada antes da classe mediana)
- $ f = 31 $
- $ c = 200 $ (pois 900 - 700 = 200)
Passo 9
A moda é o valor mais frequente. Observando as frequências, a maior frequência é 31, que ocorre no intervalo de 700–900 RS.
Para dados agrupados, a moda é calculada por:
onde:
- $ L $ = limite inferior da classe modal
- $ f_1 $ = frequência da classe modal
- $ f_0 $ = frequência da classe anterior
- $ f_2 $ = frequência da classe seguinte
- $ c $ = amplitude da classe
Passo 10
Aplicando na fórmula:
- $ L = 700 $
- $ f_1 = 31 $
- $ f_0 = 18 $ (classe anterior)
- $ f_2 = 15 $ (classe seguinte)
- $ c = 200 $
Passo 11
Para calcular o primeiro quartil (Q1) e o terceiro quartil (Q3), usamos as posições:
Vamos identificar em quais classes essas posições estão na tabela de frequências acumuladas.
Passo 12
Q1 está na posição 17,5. Observando a tabela acumulada:
- Até 700: 18 (já passou de 17,5)
Então, a classe de Q1 é 500–700.
Aplicando a fórmula:
onde:
- $ L = 500 $
- $ F = 0 $ (não há frequência acumulada antes da primeira classe)
- $ f = 18 $
- $ c = 200 $
Q3 está na posição 52,5. Olhando a tabela, 49 está até a classe 700–900 e 64 na classe 900–1100. Então, Q3 está na classe 900–1100.
Aplicando a fórmula:
Passo 13
Agora, vamos calcular os percentis. O décimo percentil (P10) está na posição:
E o vigésimo percentil (P20) está na posição:
Vamos ver em quais classes esses percentis caem.
Passo 14
P10 está na posição 7. Observando a tabela acumulada:
- Até 700: 18 (já passa de 7)
Então, a classe é 500–700.
Aplicando a fórmula do percentil:
Para P10:
- $ L = 500 $
- $ k = 10 $
- $ N = 70 $
- $ F = 0 $ (antes da primeira classe)
- $ f = 18 $
- $ c = 200 $
P20 está na posição 14. Ainda na primeira classe (500–700).
Aplicando a fórmula:
Resposta
- Média aritmética: R$ 828,57
- Mediana: R$ 809,68
- Moda: R$ 789,66
- Primeiro quartil (Q1): R$ 694,44
- Terceiro quartil (Q3): R$ 946,67
- Décimo percentil (P10): R$ 577,78
- Vigésimo percentil (P20): R$ 655,56