Calcule a média aritmética, mediana, moda, primeiro quartil, terceiro quartil, décimo percentil e vigésimo percentil das distribuições abaixo:
c.
SALÁRIOS <br> (RS) fi
500 vdash 700 18
700 vdash 900 31
900 vdash 1.100 15
1.100 vdash 1.300 3
1.300 vdash 1.500 1
1.500 vdash 1.700 1
1.700 vdash 1.900 1
Sigma=70

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular várias medidas estatísticas – média aritmética, mediana, moda, primeiro quartil, terceiro quartil, décimo percentil e vigésimo percentil – para uma distribuição de salários. A tabela que temos mostra os intervalos de salários e a frequência de cada intervalo. Para isso, vamos precisar entender de estatística básica e como trabalhar com distribuições de classes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média aritmética. A média é a soma de todos os valores multiplicados pelas suas respectivas frequências, dividida pelo total de observações. Mas como temos intervalos, vamos usar o ponto médio de cada classe como representante.
Fórmula da Média:
Média = sum (xi cdot fi)N é
onde $ x_i $ é o ponto médio de cada classe, $ f_i $ é a frequência da classe e $ N $ é o total de observações.

Passo 3

Vamos encontrar o ponto médio ($ x_i $) de cada intervalo:
  • 500–700: $ \frac{500 + 700}{2} = 600 $
  • 700–900: $ \frac{700 + 900}{2} = 800 $
  • 900–1100: $ \frac{900 + 1100}{2} = 1000 $
  • 1100–1300: $ \frac{1100 + 1300}{2} = 1200 $
  • 1300–1500: $ \frac{1300 + 1500}{2} = 1400 $
  • 1500–1700: $ \frac{1500 + 1700}{2} = 1600 $
  • 1700–1900: $ \frac{1700 + 1900}{2} = 1800 $

Passo 4

Agora, vamos multiplicar cada ponto médio pela sua frequência e somar tudo:
600 times 18 &= 10.800 800 times 31 &= 24.800 1000 times 15 &= 15.000 1200 times 3 &= 3.600 1400 times 1 &= 1.400 1600 times 1 &= 1.600 1800 times 1 &= 1.800
sum (xi cdot fi) = 10.800 + 24.800 + 15.000 + 3.600 + 1.400 + 1.600 + 1.800 = 58.000

Passo 5

O total de observações ($ N $) é 70, conforme a tabela.
Agora, aplicando na fórmula da média:
N é

Passo 6

Vamos calcular a mediana, que é o valor central da distribuição. Como temos uma distribuição em classes, usamos a fórmula da mediana para dados agrupados:
Mediana = L + ( N2 - Ff ) times c
onde:
  • $ L $ = limite inferior da classe mediana
  • $ N $ = total de observações
  • $ F $ = frequência acumulada antes da classe mediana
  • $ f $ = frequência da classe mediana
  • $ c $ = amplitude da classe

Passo 7

Primeiro, vamos construir a tabela com frequências acumuladas:
SALÁRIOS (RS) $ f_i $ $ F_i $
500–700 18 18
700–900 31 49
900–1100 15 64
1100–1300 3 67
1300–1500 1 68
1500–1700 1 69
1700–1900 1 70
A mediana está na posição $ \frac{70}{2} = 35 $.
Observando a tabela, a frequência acumulada de 18 não chega a 35, mas com o próximo intervalo chega a 49. Então, a classe mediana é 700–900.

Passo 8

Aplicando a fórmula da mediana:
  • $ L = 700 $
  • $ N/2 = 35 $
  • $ F = 18 $ (frequência acumulada antes da classe mediana)
  • $ f = 31 $
  • $ c = 200 $ (pois 900 - 700 = 200)
L = 700

Passo 9

A moda é o valor mais frequente. Observando as frequências, a maior frequência é 31, que ocorre no intervalo de 700–900 RS.
Para dados agrupados, a moda é calculada por:
Moda = L + ( f1 - f02f1 - f0 - f2 ) times c
onde:
  • $ L $ = limite inferior da classe modal
  • $ f_1 $ = frequência da classe modal
  • $ f_0 $ = frequência da classe anterior
  • $ f_2 $ = frequência da classe seguinte
  • $ c $ = amplitude da classe

Passo 10

Aplicando na fórmula:
  • $ L = 700 $
  • $ f_1 = 31 $
  • $ f_0 = 18 $ (classe anterior)
  • $ f_2 = 15 $ (classe seguinte)
  • $ c = 200 $
L = 700

Passo 11

Para calcular o primeiro quartil (Q1) e o terceiro quartil (Q3), usamos as posições:
Q1 = N4 = 704 = 17,5
Q3 = 3N4 = 2104 = 52,5
Vamos identificar em quais classes essas posições estão na tabela de frequências acumuladas.

Passo 12

Q1 está na posição 17,5. Observando a tabela acumulada:
  • Até 700: 18 (já passou de 17,5)
Então, a classe de Q1 é 500–700.
Aplicando a fórmula:
Q1 = L + ( N4 - Ff ) times c
onde:
  • $ L = 500 $
  • $ F = 0 $ (não há frequência acumulada antes da primeira classe)
  • $ f = 18 $
  • $ c = 200 $
L = 500
Q3 está na posição 52,5. Olhando a tabela, 49 está até a classe 700–900 e 64 na classe 900–1100. Então, Q3 está na classe 900–1100.
Aplicando a fórmula:
F = 0

Passo 13

Agora, vamos calcular os percentis. O décimo percentil (P10) está na posição:
P10 = 10100 times 70 = 7
E o vigésimo percentil (P20) está na posição:
P20 = 20100 times 70 = 14
Vamos ver em quais classes esses percentis caem.

Passo 14

P10 está na posição 7. Observando a tabela acumulada:
  • Até 700: 18 (já passa de 7)
Então, a classe é 500–700.
Aplicando a fórmula do percentil:
Pk = L + ( k100N - Ff ) times c
Para P10:
  • $ L = 500 $
  • $ k = 10 $
  • $ N = 70 $
  • $ F = 0 $ (antes da primeira classe)
  • $ f = 18 $
  • $ c = 200 $
L = 500
P20 está na posição 14. Ainda na primeira classe (500–700).
Aplicando a fórmula:
k = 10

Resposta

  • Média aritmética: R$ 828,57
  • Mediana: R$ 809,68
  • Moda: R$ 789,66
  • Primeiro quartil (Q1): R$ 694,44
  • Terceiro quartil (Q3): R$ 946,67
  • Décimo percentil (P10): R$ 577,78
  • Vigésimo percentil (P20): R$ 655,56

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