Considere um alfabeto com
letras. Uma palavra de 3 letras deste alfabeto foi escolhida ao acaso (com reposição), e seja
uma letra deste alfabeto. Considere os seguintes eventos:
palavra escolhida começa com
palavra escolhida tem a letra
no meio.
palavra escolhida tem exatamente duas letras iguais.
© Considerando esta probabilidade, mostre que os eventos A, B e C são independentes dois a dois.
© Considerando esta probabilidade, mostre que os eventos A, B e C são independentes dois a dois.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre probabilidade envolvendo palavras formadas por letras de um alfabeto com
letras. A gente escolhe uma palavra de 3 letras de forma aleatória, com reposição (ou seja, pode aparecer a mesma letra mais de uma vez). Temos uma letra específica, chamada
, e três eventos:
- A: A palavra começa com
. - B: A palavra tem a letra
no meio. - C: A palavra tem exatamente duas letras iguais.
O objetivo é mostrar que esses eventos A, B e C são independentes dois a dois. Isso significa que a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro em cada par.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa probabilidade de um evento. A probabilidade de um evento é a chance de ele acontecer, e é calculada dividindo o número de casos favoráveis pelo número total de casos possíveis.
Aqui, temos um alfabeto com
letras, e estamos formando palavras de 3 letras. Como a escolha é com reposição, cada posição da palavra pode ter qualquer uma das
letras.
O total de palavras possíveis é
.
Agora, vamos calcular as probabilidades dos eventos A, B e C.
Passo 3
Probabilidade do Evento A (P(A)):
O evento A ocorre quando a palavra começa com
. Isso significa que a primeira letra é
, e as outras duas letras podem ser qualquer uma das
.
- Número de palavras que começam com
: . - Então,
.
Probabilidade do Evento B (P(B)):
O evento B ocorre quando a letra
está no meio da palavra. Ou seja, a segunda letra é
, e as outras duas podem ser qualquer uma das
.
- Número de palavras com
no meio: . - Então,
.
Probabilidade do Evento C (P©):
O evento C ocorre quando a palavra tem exatamente duas letras iguais. Vamos analisar quantas palavras atendem a essa condição.
Existem três posições na palavra: primeira, segunda e terceira. Precisamos que exatamente duas delas sejam iguais, e a terceira diferente. Isso pode acontecer de três maneiras:
- Primeira e segunda letras iguais, e terceira diferente.
- Primeira e terceira letras iguais, e segunda diferente.
- Segunda e terceira letras iguais, e primeira diferente.
Para cada caso:
- Letras iguais:
opções (qualquer uma das letras). - Letra diferente:
opções (todas menos a letra igual).
Então, o número total de palavras com exatamente duas letras iguais é:
Portanto, a probabilidade
é:
Passo 4
Agora, vamos verificar se os eventos são independentes dois a dois. Dois eventos X e Y são independentes se:
Vamos calcular as interseções:
1. P(A ∩ B):
Este evento ocorre quando a palavra começa com
e tem
no meio. Ou seja, a palavra é
, onde o terceiro caractere pode ser qualquer letra exceto
(para não ter três letras iguais, já que estamos considerando exatamente duas letras iguais no evento C).
Número de palavras que começam com
e têm
no meio:
.
Então,
Agora, vamos calcular
:
Para que A e B sejam independentes, devemos ter:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso só é verdadeiro se
tende ao infinito, mas como
é finito, os eventos A e B não são independentes. Porém, parece que houve um equívoco na análise. Vamos revisar.
Na verdade, se estamos mostrando que os eventos são independentes dois a dois, precisamos reconsiderar o cálculo da interseção.
Se a palavra começa com
e tem
no meio, então temos
. A última letra pode ser qualquer uma das
letras, inclusive
. Portanto, o número de palavras é
.
Assim,
Agora,
Portanto,
, mostrando que A e B são independentes.
2. P(A ∩ C):
Este evento ocorre quando a palavra começa com
e tem exatamente duas letras iguais.
Vamos considerar as possibilidades:
- A palavra começa com
, e uma das outras duas letras também é (para ter exatamente duas letras iguais). - Padrão:
ou , onde é uma letra diferente de .
- Padrão:
Número de palavras:
- Para
: - Para
:
Total:
Então,
Agora,
Como
, os eventos A e C não são independentes.
Parece que houve uma inconsistência no enunciado ou na interpretação inicial. Para que os eventos sejam independentes dois a dois, precisamos que a interseção deles seja igual ao produto das probabilidades individuais, o que não está acontecendo aqui com A e C.
3. P(B ∩ C):
Vamos verificar:
O evento B ∩ C ocorre quando a palavra tem
no meio e exatamente duas letras iguais.
As possibilidades são:
-
: A primeira letra é diferente de , e a segunda e terceira são . -
: Já consideramos isso no evento A ∩ C.
Número de palavras:
- Para
:
Então,
Agora,
Como
, os eventos B e C não são independentes.
Resposta
Após analisar as probabilidades e suas interseções, concluímos que os eventos A, B e C não são independentes dois a dois. Ou seja, a ocorrência de um evento afeta a ocorrência dos outros, contrariando a independência proposta.