Considere um alfabeto com n letras. Uma palavra de 3 letras deste alfabeto foi escolhida ao acaso (com reposição), e seja L uma letra deste alfabeto. Considere os seguintes eventos:
A= palavra escolhida começa com L
B= palavra escolhida tem a letra L no meio.
C= palavra escolhida tem exatamente duas letras iguais.
© Considerando esta probabilidade, mostre que os eventos A, B e C são independentes dois a dois.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre probabilidade envolvendo palavras formadas por letras de um alfabeto com n letras. A gente escolhe uma palavra de 3 letras de forma aleatória, com reposição (ou seja, pode aparecer a mesma letra mais de uma vez). Temos uma letra específica, chamada L, e três eventos:
  • A: A palavra começa com L.
  • B: A palavra tem a letra L no meio.
  • C: A palavra tem exatamente duas letras iguais.
O objetivo é mostrar que esses eventos A, B e C são independentes dois a dois. Isso significa que a ocorrência de um não afeta a ocorrência do outro em cada par.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa probabilidade de um evento. A probabilidade de um evento é a chance de ele acontecer, e é calculada dividindo o número de casos favoráveis pelo número total de casos possíveis.
Aqui, temos um alfabeto com n letras, e estamos formando palavras de 3 letras. Como a escolha é com reposição, cada posição da palavra pode ter qualquer uma das n letras.
O total de palavras possíveis é n times n times n = n^3.
Agora, vamos calcular as probabilidades dos eventos A, B e C.

Passo 3

Probabilidade do Evento A (P(A)):
O evento A ocorre quando a palavra começa com L. Isso significa que a primeira letra é L, e as outras duas letras podem ser qualquer uma das n.
  • Número de palavras que começam com L: 1 times n times n = n^2.
  • Então, P(A) = n^2n^3 = 1n.
Probabilidade do Evento B (P(B)):
O evento B ocorre quando a letra L está no meio da palavra. Ou seja, a segunda letra é L, e as outras duas podem ser qualquer uma das n.
  • Número de palavras com L no meio: n times 1 times n = n^2.
  • Então, P(B) = n^2n^3 = 1n.
Probabilidade do Evento C (P©):
O evento C ocorre quando a palavra tem exatamente duas letras iguais. Vamos analisar quantas palavras atendem a essa condição.
Existem três posições na palavra: primeira, segunda e terceira. Precisamos que exatamente duas delas sejam iguais, e a terceira diferente. Isso pode acontecer de três maneiras:
  1. Primeira e segunda letras iguais, e terceira diferente.
  2. Primeira e terceira letras iguais, e segunda diferente.
  3. Segunda e terceira letras iguais, e primeira diferente.
Para cada caso:
  • Letras iguais: n opções (qualquer uma das n letras).
  • Letra diferente: n - 1 opções (todas menos a letra igual).
Então, o número total de palavras com exatamente duas letras iguais é:
3 times n times (n - 1)
Portanto, a probabilidade P(C) é:
P(C) = 3 times n times (n - 1)n^3 = 3(n - 1)n^2

Passo 4

Agora, vamos verificar se os eventos são independentes dois a dois. Dois eventos X e Y são independentes se:
P(X cap Y) = P(X) times P(Y)
Vamos calcular as interseções:
1. P(A ∩ B):
Este evento ocorre quando a palavra começa com L e tem L no meio. Ou seja, a palavra é L L , onde o terceiro caractere pode ser qualquer letra exceto L (para não ter três letras iguais, já que estamos considerando exatamente duas letras iguais no evento C).
Número de palavras que começam com L e têm L no meio: 1 times 1 times (n - 1) = n - 1.
Então,
P(A cap B) = n - 1n^3
Agora, vamos calcular P(A) times P(B):
P(A) times P(B) = 1n times 1n = 1n^2
Para que A e B sejam independentes, devemos ter:
n - 1n^3 = 1n^2
Multiplicando ambos os lados por n^3:
n - 1 = n
Isso só é verdadeiro se n tende ao infinito, mas como n é finito, os eventos A e B não são independentes. Porém, parece que houve um equívoco na análise. Vamos revisar.
Na verdade, se estamos mostrando que os eventos são independentes dois a dois, precisamos reconsiderar o cálculo da interseção.
Se a palavra começa com L e tem L no meio, então temos L L . A última letra pode ser qualquer uma das n letras, inclusive L. Portanto, o número de palavras é 1 times 1 times n = n.
Assim,
P(A cap B) = nn^3 = 1n^2
Agora, P(A) times P(B) = 1n times 1n = 1n^2
Portanto, P(A cap B) = P(A) times P(B), mostrando que A e B são independentes.
2. P(A ∩ C):
Este evento ocorre quando a palavra começa com L e tem exatamente duas letras iguais.
Vamos considerar as possibilidades:
  • A palavra começa com L, e uma das outras duas letras também é L (para ter exatamente duas letras iguais).
    • Padrão: L L ou L L, onde é uma letra diferente de L.
Número de palavras:
  • Para L L : 1 times 1 times (n - 1) = n - 1
  • Para L L: 1 times (n - 1) times 1 = n - 1
Total: 2(n - 1)
Então,
P(A cap C) = 2(n - 1)n^3
Agora, P(A) times P(C) = 1n times 3(n - 1)n^2 = 3(n - 1)n^3
Como 2(n - 1)n^3 neq 3(n - 1)n^3, os eventos A e C não são independentes.
Parece que houve uma inconsistência no enunciado ou na interpretação inicial. Para que os eventos sejam independentes dois a dois, precisamos que a interseção deles seja igual ao produto das probabilidades individuais, o que não está acontecendo aqui com A e C.
3. P(B ∩ C):
Vamos verificar:
O evento B ∩ C ocorre quando a palavra tem L no meio e exatamente duas letras iguais.
As possibilidades são:
  • L L: A primeira letra é diferente de L, e a segunda e terceira são L.
  • L L : Já consideramos isso no evento A ∩ C.
Número de palavras:
  • Para L L: (n - 1) times 1 times 1 = n - 1
Então,
P(B cap C) = n - 1n^3
Agora, P(B) times P(C) = 1n times 3(n - 1)n^2 = 3(n - 1)n^3
Como n - 1n^3 neq 3(n - 1)n^3, os eventos B e C não são independentes.

Resposta

Após analisar as probabilidades e suas interseções, concluímos que os eventos A, B e C não são independentes dois a dois. Ou seja, a ocorrência de um evento afeta a ocorrência dos outros, contrariando a independência proposta.

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