Considere um alfabeto com n letras. Uma palavra de 3 letras deste alfabeto foi escolhida ao acaso (com reposição), e seja L uma letra deste alfabeto. Considere os seguintes eventos:
A= palavra escolhida começa com L
B= palavra escolhida tem a letra L no meio.
C= palavra escolhida tem exatamente duas letras iguais.
(a) Determine um espaço amostral (Omega, A) adequado ao experimento.

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de probabilidade que fala sobre um alfabeto com $ n $ letras. A gente vai escolher uma palavra de 3 letras desse alfabeto de forma aleatória, e tem alguns eventos que a palavra pode satisfazer, como começar com uma letra específica $ L $, ter $ L $ no meio, ou ter exatamente duas letras iguais. O que a gente precisa fazer nessa parte (a) é definir um espaço amostral n que seja adequado para esse experimento. Para isso, vamos precisar lembrar o que é um espaço amostral e como construí-lo quando estamos lidando com escolhas aleatórias de letras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço amostral. Em probabilidade, o espaço amostral $ \Omega $ é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Já $ \mathcal{A} $ é a sigma-álgebra, que é um conjunto de subconjuntos de $ \Omega $ que vamos considerar para calcular as probabilidades. No nosso caso, o experimento é escolher uma palavra de 3 letras do alfabeto com reposição.

Passo 3

Como temos um alfabeto com $ n $ letras e estamos escolhendo 3 letras com reposição, isso significa que cada posição na palavra pode ser preenchida por qualquer uma das $ n $ letras, independentemente das outras posições. Portanto, o número total de palavras possíveis é $ n \times n \times n = n^3 $. Assim, o espaço amostral $ \Omega $ será o conjunto de todas as possíveis combinações de 3 letras.

Passo 4

Agora, precisamos definir $ \mathcal{A} $, a sigma-álgebra. Como estamos trabalhando em um espaço finito e discreto, a sigma-álgebra pode ser o conjunto de todas as partes de $ \Omega $, ou seja, o poder de $ \Omega $, denotado por $ 2^\Omega $. Isso significa que qualquer subconjunto de $ \Omega $ é um evento que a gente pode considerar para calcular probabilidades.

Resposta

O espaço amostral adequado para o experimento é dado por (Omega, A), onde:
  • $ \Omega = { todas as palavras de 3 letras possíveis a partir de um alfabeto com n letras } $
  • $ \mathcal{A} = 2^\Omega $ (o conjunto de todas as partes de $ \Omega $)

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