Calcule a medida do diedro formado pelas faces laterais com a base de uma pirâmide regular, sabendo que a apótema da pirâmide mede o dobro da apótema da base.
Passo 1
O problema pede: calcular a medida do diedro (ângulo diedro) formado entre cada face lateral e a base de uma pirâmide regular, sabendo que a apótema da pirâmide vale o dobro da apótema da base.
Informações dadas e nomes que vou usar:
Informações dadas e nomes que vou usar:
- Apótema da base: vou chamar de
(é a distância do centro da base até o ponto médio de um lado da base). - Apótema da pirâmide (slant height, a altura da face lateral até o ponto médio do lado): vou chamar de
. O enunciado dá . - O que se pede: o ângulo diedro
entre uma face lateral e o plano da base.
Passo 2
Definições e ideia geométrica que vamos usar (sem calcular ainda):
- Em uma pirâmide regular o ápice está exatamente acima do centro da base; a altura da pirâmide (perpendicular à base) vou chamar de
. - Considere o triângulo formado pelo ápice
, pelo centro da base e pelo ponto médio de um lado da base . Esse triângulo está em um plano que contém a face lateral e uma linha do plano da base. - Nesse triângulo:
(apótema da base), (apótema da pirâmide, slant), e (altura). Esse triângulo é retângulo em , pois é perpendicular ao plano da base.
Passo 3
Relação entre
,
e
usando o triângulo retângulo
:
A hipotenusa é e os catetos são
e
. Pela relação de Pitágoras temos:
A hipotenusa é
Passo 4
Relacionamento entre o diedro
e os segmentos do triângulo:
- O ângulo diedro entre a face lateral e a base é igual ao ângulo entre a reta
(que está na face lateral) e a sua projeção no plano da base, que é exatamente . Portanto é o ângulo do triângulo . - No triângulo retângulo
, a tangente desse ângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente . Logo:
Passo 5
Usar a informação
para encontrar
em função de
:
Partindo de e substituindo
:
Partindo de
Isso dá
Como
,
Passo 6
Calcular
a partir de
:
Substituindo temos
Substituindo
Sabemos que
, portanto
Passo 7
Checagem numérica rápida (opcional para ver que bate): se
então
e
. Assim
e
. Confere.