Calcule a medida do diedro formado pelas faces laterais com a base de uma pirâmide regular, sabendo que a apótema da pirâmide mede o dobro da apótema da base.

Passo 1

O problema pede: calcular a medida do diedro (ângulo diedro) formado entre cada face lateral e a base de uma pirâmide regular, sabendo que a apótema da pirâmide vale o dobro da apótema da base.
Informações dadas e nomes que vou usar:
  • Apótema da base: vou chamar de \;a\; (é a distância do centro da base até o ponto médio de um lado da base).
  • Apótema da pirâmide (slant height, a altura da face lateral até o ponto médio do lado): vou chamar de \;l\;. O enunciado dá \;l=2a\;.
  • O que se pede: o ângulo diedro \;\varphi\; entre uma face lateral e o plano da base.

Passo 2

Definições e ideia geométrica que vamos usar (sem calcular ainda):
  • Em uma pirâmide regular o ápice está exatamente acima do centro da base; a altura da pirâmide (perpendicular à base) vou chamar de \;h\;.
  • Considere o triângulo formado pelo ápice A, pelo centro da base O e pelo ponto médio de um lado da base M. Esse triângulo está em um plano que contém a face lateral e uma linha do plano da base.
  • Nesse triângulo: OM=a (apótema da base), AM=l (apótema da pirâmide, slant), e AO=h (altura). Esse triângulo é retângulo em O, pois AO é perpendicular ao plano da base.

Passo 3

Relação entre l, h e a usando o triângulo retângulo AOM:
A hipotenusa é AM=l e os catetos são AO=h e OM=a. Pela relação de Pitágoras temos:
l^{2}=h^{2}+a^{2}.

Passo 4

Relacionamento entre o diedro \varphi e os segmentos do triângulo:
  • O ângulo diedro entre a face lateral e a base é igual ao ângulo entre a reta AM (que está na face lateral) e a sua projeção no plano da base, que é exatamente OM. Portanto \varphi é o ângulo \angle AMO do triângulo AOM.
  • No triângulo retângulo AOM, a tangente desse ângulo é a razão entre o cateto oposto AO=h e o cateto adjacente OM=a. Logo:
\tan\varphi=\frac{h}{a}.

Passo 5

Usar a informação l=2a para encontrar h em função de a:
Partindo de l^{2}=h^{2}+a^{2} e substituindo l=2a:
(2a)^{2}=h^{2}+a^{2}.
Isso dá
4a^{2}=h^{2}+a^{2}\quad\Rightarrow\quad h^{2}=3a^{2}.
Como h>0,
h=a\sqrt{3}.

Passo 6

Calcular \varphi a partir de \tan\varphi=\dfrac{h}{a}:
Substituindo h=a\sqrt{3} temos
\tan\varphi=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}.
Sabemos que \tan 60^\circ=\sqrt{3}, portanto
\varphi=60^\circ.

Passo 7

Checagem numérica rápida (opcional para ver que bate): se a=1 então l=2 e h=\sqrt{3}\approx1,732. Assim \tan\varphi=1,732 e \varphi\approx60^\circ. Confere.

Resposta

\;60^\circ\;

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