Uma pirâmide hexagonal tem 12 cm de altura e tem aresta da base medindo \frac{10 \sqrt{3}}{3}. Calcule:
(a) a apótema da base;
(b) a apótema da pirâmide;
(c) a área da base;
(d) a aresta lateral;
(e) a área total;
(f) o volume.
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide regular de base hexagonal e fornece:
altura da pirâmide h=12 cm;
aresta da base (lado do hexágono) s=\dfrac{10\sqrt{3}}{3} cm.
Pede-se:
(a) a apótema da base (apotema do hexágono);
(b) a apótema da pirâmide (slant height, apótema lateral);
(c) a área da base;
(d) a aresta lateral (aresta da pirâmide que vai do vértice da base ao vértice do topo);
(e) a área total da pirâmide;
(f) o volume da pirâmide.
Lista aqui as informações relevantes que usaremos depois:
lado da base: s=\dfrac{10\sqrt{3}}{3} cm;
altura da pirâmide: h=12 cm;
a base é um hexágono regular (6 lados iguais).
Passo 2
Vamos calcular a apótema da base (o segmento do centro do hexágono até o ponto médio de um lado). Para um polígono regular com n lados e lado s a apótema a é
a=\frac{s}{2\tan\!\big(\frac{\pi}{n}\big)}.
Aqui n=6, então \tan\!\big(\frac{\pi}{6}\big)=\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}. Substituindo:
A apótema da pirâmide (slant height), que vou chamar de l, é a altura do triângulo lateral desde o ponto médio de um lado da base até o vértice da pirâmide. Em uma pirâmide regular isso forma um triângulo retângulo cujos catetos são a altura h da pirâmide e a apótema da base a_{b}. Assim
Aresta lateral (aresta do vértice da pirâmide até um vértice da base). Denotemos por e. Para encontrar e usamos o triângulo retângulo formado pela altura h e pela distância do centro da base até um vértice (circunrádio R do hexágono). Em um hexágono regular o circunrádio é igual ao lado: