Uma pirâmide hexagonal tem 12 cm de altura e tem aresta da base medindo \frac{10 \sqrt{3}}{3}. Calcule:
(a) a apótema da base;
(b) a apótema da pirâmide;
(c) a área da base;
(d) a aresta lateral;
(e) a área total;
(f) o volume.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide regular de base hexagonal e fornece:
  • altura da pirâmide h=12 cm;
  • aresta da base (lado do hexágono) s=\dfrac{10\sqrt{3}}{3} cm.
Pede-se:
(a) a apótema da base (apotema do hexágono);
(b) a apótema da pirâmide (slant height, apótema lateral);
(c) a área da base;
(d) a aresta lateral (aresta da pirâmide que vai do vértice da base ao vértice do topo);
(e) a área total da pirâmide;
(f) o volume da pirâmide.
Lista aqui as informações relevantes que usaremos depois:
  • lado da base: s=\dfrac{10\sqrt{3}}{3} cm;
  • altura da pirâmide: h=12 cm;
  • a base é um hexágono regular (6 lados iguais).

Passo 2

Vamos calcular a apótema da base (o segmento do centro do hexágono até o ponto médio de um lado). Para um polígono regular com n lados e lado s a apótema a é
a=\frac{s}{2\tan\!\big(\frac{\pi}{n}\big)}.
Aqui n=6, então \tan\!\big(\frac{\pi}{6}\big)=\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}. Substituindo:
a_{b}=\frac{s}{2\tan(\pi/6)}=\frac{s}{2\cdot(1/\sqrt{3})}=s\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Agora substituímos s=\dfrac{10\sqrt{3}}{3}:
a_{b}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{10\cdot 3}{3\cdot 2} =\frac{10}{2}=5\\ \text{cm}.
Portanto, a apótema da base é 5 cm.

Passo 3

A apótema da pirâmide (slant height), que vou chamar de l, é a altura do triângulo lateral desde o ponto médio de um lado da base até o vértice da pirâmide. Em uma pirâmide regular isso forma um triângulo retângulo cujos catetos são a altura h da pirâmide e a apótema da base a_{b}. Assim
l=\sqrt{h^{2}+a_{b}^{2}}.
Substituindo h=12 e a_{b}=5:
l=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\\ \text{cm}.
Logo a apótema da pirâmide é 13 cm.

Passo 4

Área da base: para um polígono regular a área A_{B} é dada por
A_{B}=\frac{P\cdot a_{b}}{2},
onde P é o perímetro do hexágono. O perímetro é P=6s. Portanto
A_{B}=\frac{6s\cdot a_{b}}{2}=3s\,a_{b}.
Substituindo s=\dfrac{10\sqrt{3}}{3} e a_{b}=5:
A_{B}=3\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3}\cdot 5 =10\sqrt{3}\cdot 5 =50\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.

Passo 5

Aresta lateral (aresta do vértice da pirâmide até um vértice da base). Denotemos por e. Para encontrar e usamos o triângulo retângulo formado pela altura h e pela distância do centro da base até um vértice (circunrádio R do hexágono). Em um hexágono regular o circunrádio é igual ao lado:
R=s=\frac{10\sqrt{3}}{3}.
Então
e=\sqrt{h^{2}+R^{2}}=\sqrt{12^{2}+\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}.
Calculando:
\left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{100\cdot 3}{9}=\frac{100}{3},
logo
e^{2}=144+\frac{100}{3}=\frac{432+100}{3}=\frac{532}{3}.
Portanto
e=\sqrt{\frac{532}{3}}.
Podemos simplificar a raiz assim:
e=\sqrt{\frac{532}{3}}=\frac{\sqrt{1596}}{3}=\frac{2\sqrt{399}}{3}\\ \text{cm}.
(onde 399=3\cdot133 não tem quadrados perfeitos além de 1, então essa é a forma radical simplificada).

Passo 6

Área lateral e área total. A área lateral A_{L} de uma pirâmide regular é dada por
A_{L}=\frac{P\cdot l}{2},
onde P=6s é o perímetro da base e l é o apótema da pirâmide (slant height). Assim
A_{L}=\frac{6s\cdot l}{2}=3s\,l.
Substituindo s=\dfrac{10\sqrt{3}}{3} e l=13:
A_{L}=3\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3}\cdot 13=10\sqrt{3}\cdot 13=130\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.
Área total A_{T} é a soma da área da base com a lateral:
A_{T}=A_{B}+A_{L}=50\sqrt{3}+130\sqrt{3}=180\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.

Passo 7

Volume da pirâmide. Fórmula do volume de uma pirâmide qualquer:
V=\frac{1}{3}A_{B}\cdot h,
onde A_{B} é a área da base e h a altura. Substituindo A_{B}=50\sqrt{3} e h=12:
V=\frac{1}{3}\cdot 50\sqrt{3}\cdot 12 = \frac{50\cdot 12}{3}\sqrt{3} =50\cdot 4\sqrt{3} =200\sqrt{3}\\ \text{cm}^{3}.

Resposta

(a) 5\\ \text{cm}
(b) 13\\ \text{cm}
(c) 50\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}
(d) \dfrac{2\sqrt{399}}{3}\\ \text{cm}
(e) 180\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}
(f) 200\sqrt{3}\\ \text{cm}^{3}

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