De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é 32 c m^{2} e que a apótema da pirâmide mede 6 cm . Calcule:
(a) a aresta da base;
(b) a apótema da base;
(c) a altura da pirâmide;
(d) a aresta lateral;
(e) a área total;
(f) o volume.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas:
  • Informação: a base é um quadrado e a área da base é \,32\\ \mathrm{cm}^2.
  • Informação: a apótema da pirâmide (slant height, apótema lateral, distância do vértice da base até o vértice da face lateral, medida ao longo da face) mede \,6\\ \mathrm{cm}.
Perguntas:
(a) Calcular a aresta da base (lado do quadrado).
(b) Calcular a apótema da base (distância do centro da base até o ponto médio de um lado).
(c) Calcular a altura da pirâmide (distância perpendicular do vértice ao plano da base).
(d) Calcular a aresta lateral (aresta que vai de um vértice da base até o vértice da pirâmide).
(e) Calcular a área total da pirâmide.
(f) Calcular o volume da pirâmide.

Passo 2

Vamos achar a aresta do quadrado (lado s) a partir da área da base. A área A_{\text{base}} de um quadrado de lado s é dada por
A_{\text{base}} = s^2.
Substituindo A_{\text{base}}=32\\ \mathrm{cm}^2,
s^2 = 32 \quad\Rightarrow\quad s = \sqrt{32} = \sqrt{16\cdot 2} = 4\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}.
Portanto a aresta da base é \,4\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Agora a apótema da base. Em um polígono regular, a apótema é a distância do centro até o ponto médio de um lado. Para o quadrado essa apótema é simplesmente metade do lado:
a_{\text{base}} = \frac{s}{2}.
Substituindo s=4\sqrt{2},
a_{\text{base}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}.
Assim a apótema da base vale \,2\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Agora vamos achar a altura h da pirâmide. Considere a seção lateral que passa pelo centro da base e por um ponto médio de um lado: nessa seção há um triângulo retângulo em que a hipotenusa é a apótema da pirâmide (slant height) l_s=6\\ \mathrm{cm}, um cateto é a apótema da base a_{\text{base}} e o outro cateto é a altura h. Logo vale o Teorema de Pitágoras:
l_s^2 = h^2 + a_{\text{base}}^2.
Substituindo l_s=6 e a_{\text{base}}=2\sqrt{2},
6^2 = h^2 + (2\sqrt{2})^2 \quad\Rightarrow\quad 36 = h^2 + 8.
Então
h^2 = 36-8 = 28 \quad\Rightarrow\quad h = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\\ \mathrm{cm}.
Portanto a altura da pirâmide é \,2\sqrt{7}\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Agora a aresta lateral (aresta que liga um vértice da base ao ápice). Para encontrá-la usamos outro triângulo retângulo: a aresta lateral é hipotenusa, os catetos são a altura h e a distância do centro da base até um vértice (circunrádio R). No quadrado, a diagonal tem comprimento s\sqrt{2}, então a distância do centro até o vértice é a metade da diagonal:
R = \frac{s\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2} = \frac{4\cdot 2}{2} = 4\\ \mathrm{cm}.
(ou, mais direto, R=\dfrac{s}{\sqrt{2}}=(4\sqrt{2})/\sqrt{2}=4.)
Usando Pitágoras para a aresta lateral L,
L^2 = h^2 + R^2.
Substituindo h^2=28 e R=4,
L^2 = 28 + 16 = 44 \quad\Rightarrow\quad L = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}\\ \mathrm{cm}.
Logo a aresta lateral tem comprimento \,2\sqrt{11}\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Agora a área total. A área total A_{\text{total}} é a soma da área da base com a área lateral. A área lateral de uma pirâmide regular é dada por
A_{\text{lateral}} = \frac{P\cdot l_s}{2},
onde P é o perímetro da base e l_s é a apótema da pirâmide (slant height). Aqui P=4s e l_s=6. Então
A_{\text{lateral}} = \frac{4s\cdot 6}{2} = 12s.
Substituindo s=4\sqrt{2},
A_{\text{lateral}} = 12\cdot 4\sqrt{2} = 48\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}^2.
A área total é
A_{\text{total}} = A_{\text{base}} + A_{\text{lateral}} = 32 + 48\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}^2.
Se quiser uma aproximação numérica, \,48\sqrt{2}\approx 67{,}882 e A_{\text{total}}\approx 32 + 67{,}882 = 99{,}882\\ \mathrm{cm}^2 (aprox. 99{,}88\\ \mathrm{cm}^2).

Passo 7

Por fim o volume. O volume V de uma pirâmide é
V = \frac{1}{3}A_{\text{base}}\cdot h.
Substituindo A_{\text{base}}=32 e h=2\sqrt{7},
V = \frac{1}{3}\cdot 32 \cdot 2\sqrt{7} = \frac{64}{3}\sqrt{7}\\ \mathrm{cm}^3.
Aproximando, \sqrt{7}\approx 2{,}6458 e V\approx \dfrac{64}{3}\cdot 2{,}6458 \approx 56{,}44\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

(a) \,4\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}
(b) \,2\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}
(c) \,2\sqrt{7}\\ \mathrm{cm}
(d) \,2\sqrt{11}\\ \mathrm{cm}
(e) \,32 + 48\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}^2
(f) \,\dfrac{64}{3}\sqrt{7}\\ \mathrm{cm}^3

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