De uma pirâmide regular de base quadrada sabe-se que a área da base é
e que a apótema da pirâmide mede 6 cm . Calcule:
(a) a aresta da base;
(b) a apótema da base;
(c) a altura da pirâmide;
(d) a aresta lateral;
(e) a área total;
(f) o volume.
(a) a aresta da base;
(b) a apótema da base;
(c) a altura da pirâmide;
(d) a aresta lateral;
(e) a área total;
(f) o volume.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades listadas:
- Informação: a base é um quadrado e a área da base é
. - Informação: a apótema da pirâmide (slant height, apótema lateral, distância do vértice da base até o vértice da face lateral, medida ao longo da face) mede
.
Perguntas:
(a) Calcular a aresta da base (lado do quadrado).
(b) Calcular a apótema da base (distância do centro da base até o ponto médio de um lado).
(c) Calcular a altura da pirâmide (distância perpendicular do vértice ao plano da base).
(d) Calcular a aresta lateral (aresta que vai de um vértice da base até o vértice da pirâmide).
(e) Calcular a área total da pirâmide.
(f) Calcular o volume da pirâmide.
(a) Calcular a aresta da base (lado do quadrado).
(b) Calcular a apótema da base (distância do centro da base até o ponto médio de um lado).
(c) Calcular a altura da pirâmide (distância perpendicular do vértice ao plano da base).
(d) Calcular a aresta lateral (aresta que vai de um vértice da base até o vértice da pirâmide).
(e) Calcular a área total da pirâmide.
(f) Calcular o volume da pirâmide.
Passo 2
Vamos achar a aresta do quadrado (lado
) a partir da área da base. A área
de um quadrado de lado
é dada por
Substituindo
,
Portanto a aresta da base é
Passo 3
Agora a apótema da base. Em um polígono regular, a apótema é a distância do centro até o ponto médio de um lado. Para o quadrado essa apótema é simplesmente metade do lado:
Substituindo
,
Assim a apótema da base vale
Passo 4
Agora vamos achar a altura
da pirâmide. Considere a seção lateral que passa pelo centro da base e por um ponto médio de um lado: nessa seção há um triângulo retângulo em que a hipotenusa é a apótema da pirâmide (slant height)
, um cateto é a apótema da base
e o outro cateto é a altura
. Logo vale o Teorema de Pitágoras:
Substituindo
e
,
Então
Portanto a altura da pirâmide é
Passo 5
Agora a aresta lateral (aresta que liga um vértice da base ao ápice). Para encontrá-la usamos outro triângulo retângulo: a aresta lateral é hipotenusa, os catetos são a altura
e a distância do centro da base até um vértice (circunrádio
). No quadrado, a diagonal tem comprimento
, então a distância do centro até o vértice é a metade da diagonal:
(ou, mais direto,
.)
Usando Pitágoras para a aresta lateral
,
Substituindo
e
,
Logo a aresta lateral tem comprimento
Passo 6
Agora a área total. A área total
é a soma da área da base com a área lateral. A área lateral de uma pirâmide regular é dada por
onde
é o perímetro da base e
é a apótema da pirâmide (slant height). Aqui
e
. Então
Substituindo
,
A área total é
Se quiser uma aproximação numérica,
e
(aprox.
).
Passo 7
Por fim o volume. O volume
de uma pirâmide é
Substituindo
e
,
Aproximando,
e
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)