Calcule, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
(g) f(z)=e^{z} / z^{3} em torno de z_{0}=0.

Passo 1

O enunciado pede claramente duas coisas para a função f:
  • Calcular, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de \displaystyle f(z)=\frac{e^{z}}{z^{3}} em torno de z_{0}=0.
  • Especificar o anel (anel de convergência) onde essa expansão é válida.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle f(z)=\frac{e^{z}}{z^{3}}.
  • O ponto em torno do qual expandimos é z_{0}=0.

Passo 2

Vamos lembrar uma série que vamos usar: a série de Taylor (ou série de Maclaurin) da função exponencial. Ela vale para todo z e é dada por
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Aqui cada termo da soma é \dfrac{z^{n}}{n!}, onde n! é o fatorial de n. Essa série converge para todo z (ou seja, o raio de convergência é infinito): isso pode ser visto pelo teste da razão, pois
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{z^{n+1}/(n+1)!}{z^{n}/n!}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{n+1}=0,
para qualquer z, portanto converge sempre.

Passo 3

Para obter a expansão de Laurent de \displaystyle \frac{e^{z}}{z^{3}} em torno de 0 basta dividir a série acima por z^{3}. Fazendo isso obtemos
\frac{e^{z}}{z^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}\cdot\frac{1}{z^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{\,n-3}}{n!}.
Esta é já uma série de Laurent centrada em 0: ela contém potências negativas ( z^{-3},z^{-2},z^{-1}) e potências não-negativas. Para reindexar em termos de expoentes m (onde m=n-3) podemos escrever de forma alternativa
\frac{e^{z}}{z^{3}}=\sum_{m=-3}^{\infty}\frac{z^{m}}{(m+3)!},
pois m+3=n.

Passo 4

Agora vamos extrair explicitamente os primeiros quatro termos da série (ou seja, os termos correspondentes a m=-3,-2,-1,0 ou, equivalentemente, n=0,1,2,3). Substituindo n=0,1,2,3 em \dfrac{z^{n-3}}{n!} obtemos:
  • para n=0: \dfrac{z^{-3}}{0!} = z^{-3},
  • para n=1: \dfrac{z^{-2}}{1!} = z^{-2},
  • para n=2: \dfrac{z^{-1}}{2!} = \tfrac{1}{2}z^{-1},
  • para n=3: \dfrac{z^{0}}{3!} = \tfrac{1}{6}.
Portanto os quatro primeiros termos são
z^{-3}+z^{-2}+\tfrac{1}{2}z^{-1}+\tfrac{1}{6}+\cdots.
Se quiser o próximo termo: para n=4 vem \dfrac{z^{1}}{4!}=\dfrac{1}{24}z.

Passo 5

Comentário sobre a singularidade e a forma geral dos coeficientes (útil para prova): a singularidade em 0 é um polo de ordem 3 porque a parte principal (termos com potências negativas) é finita e o menor expoente é -3. A série completa pode ser escrita em fórmula fechada como
\frac{e^{z}}{z^{3}}=\sum_{m=-3}^{\infty}\frac{z^{m}}{(m+3)!},
isto é, o coeficiente do termo z^{m} é \dfrac{1}{(m+3)!} para m\ge-3.

Passo 6

Anel de convergência: como a série de e^{z} converge para todo z (raio infinito), a série obtida ao dividir por z^{3} converge para todo z diferente de 0. Assim o anel (anel de Laurent) de convergência é
\{z\in\mathbb{C}\mid 0<|z|<\infty\},
ou em palavras: o plano complexo puncturado em 0 (todas as z com z\neq 0).

Passo 7

Dica rápida para a prova (motivacional): quando tiver uma função que é uma função inteira dividida por uma potência de (z-z_{0}), a expansão de Laurent em torno de z_{0} sai simplesmente pela série de Taylor do numerador dividida por essa potência — assim obtém-se rapidamente a parte principal (termos negativos) e os demais termos. Vai dar certo, respira, faz passo a passo que você resolve.

Resposta

\dfrac{e^{z}}{z^{3}}=z^{-3}+z^{-2}+\tfrac{1}{2}z^{-1}+\tfrac{1}{6}+\cdots
Anel de convergência: \{z\in\mathbb{C}\mid 0<|z|<\infty\} (o plano complexo ponturado em 0).

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