Calcule as seguintes integrais:
(d)
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral imprópria
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
e , portanto trata‑se de uma integral imprópria (pela extensão infinita). - É necessário avaliar a convergência e calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Verificar comportamento da integranda em
(possível ponto problemático).
Usamos a expansão: quando
. Então
Usamos a expansão:
Portanto a função não tem singularidade verdadeira em
(o limite existe finito): a expressão é contínua por extensão em
.
Passo 3
Explorar simetria da integranda para simplificar a integral.
Calcule para
. Como
é ímpar, tem-se
. Assim
Calcule
Logo
é par e podemos escrever
Passo 4
Fatorar constantes e fazer uma substituição simples.
Colocando a constante fora da integral:
Colocando a constante fora da integral:
Façamos a substituição
. Então
e
. Quando
varia de
a
,
varia de
a
. Substituindo:
Ou seja, o parâmetro
desaparece por causa da escala:
.
Passo 5
Apresentar o resultado clássico (integral de Dirichlet) e justificá‑lo de maneira didática.
A integral clássica é
A integral clássica é
Uma justificativa curta e clara usa um amortecimento exponencial e passa ao limite: para
defina
Diferenciando em
sob o sinal de integral (justificável para
) obtém‑se
Integrando
de
até
e usando
, chega‑se a
Tomando
vem
Esse é o valor padrão usado em muitos problemas (conhecido como integral de Dirichlet).
Passo 6
Concluir o cálculo usando os passos anteriores.
Substituindo o resultado no Passo 4:
Substituindo o resultado no Passo 4: