Calcule as seguintes integrais:
(d) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(2 t)}{3 t} d t.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(2 t)}{3 t}\,dt.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é \dfrac{\operatorname{sen}(2t)}{3t}.
  • Os limites de integração são -\infty e +\infty, portanto trata‑se de uma integral imprópria (pela extensão infinita).
  • É necessário avaliar a convergência e calcular o valor numérico da integral.

Passo 2

Verificar comportamento da integranda em t=0 (possível ponto problemático).
Usamos a expansão: \operatorname{sen} x \sim x quando x\to 0. Então
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}(2t)}{3t}=\lim_{t\to 0}\frac{2t+o(t)}{3t}=\frac{2}{3}.
Portanto a função não tem singularidade verdadeira em t=0 (o limite existe finito): a expressão é contínua por extensão em t=0.

Passo 3

Explorar simetria da integranda para simplificar a integral.
Calcule f(-t) para f(t)=\dfrac{\operatorname{sen}(2t)}{3t}. Como \operatorname{sen} é ímpar, tem-se \operatorname{sen}(-2t)=-\operatorname{sen}(2t). Assim
f(-t)=\frac{\operatorname{sen}(-2t)}{3(-t)}=\frac{-\operatorname{sen}(2t)}{-3t}=\frac{\operatorname{sen}(2t)}{3t}=f(t).
Logo f é par e podemos escrever
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(2t)}{3t}\,dt =2\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(2t)}{3t}\,dt.

Passo 4

Fatorar constantes e fazer uma substituição simples.
Colocando a constante fora da integral:
2\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(2t)}{3t}\,dt=\frac{2}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(2t)}{t}\,dt.
Façamos a substituição u=2t. Então du=2\,dt e dt=\dfrac{du}{2}. Quando t varia de 0 a +\infty, u varia de 0 a +\infty. Substituindo:
\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(2t)}{t}\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u/2}\cdot\frac{du}{2} =\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\,du.
Ou seja, o parâmetro 2 desaparece por causa da escala: \int_{0}^{\infty}\dfrac{\operatorname{sen}(2t)}{t}\,dt=\int_{0}^{\infty}\dfrac{\operatorname{sen}(u)}{u}\,du.

Passo 5

Apresentar o resultado clássico (integral de Dirichlet) e justificá‑lo de maneira didática.
A integral clássica é
\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}u}{u}\,du=\frac{\pi}{2}.
Uma justificativa curta e clara usa um amortecimento exponencial e passa ao limite: para s>0 defina
J(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s u}\frac{\operatorname{sen}u}{u}\,du.
Diferenciando em s sob o sinal de integral (justificável para s>0) obtém‑se
J'(s)=-\int_{0}^{\infty}e^{-s u}\operatorname{sen}u\,du=-\frac{1}{1+s^{2}}.
Integrando J'(s) de s até +\infty e usando \lim_{s\to\infty}J(s)=0, chega‑se a
J(s)=\int_{s}^{\infty}\frac{du}{1+u^{2}}=\frac{\pi}{2}-\arctan s.
Tomando s\to 0^{+} vem
\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}u}{u}\,du=J(0)=\frac{\pi}{2}.
Esse é o valor padrão usado em muitos problemas (conhecido como integral de Dirichlet).

Passo 6

Concluir o cálculo usando os passos anteriores.
Substituindo o resultado no Passo 4:
\frac{2}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}(2t)}{t}\,dt =\frac{2}{3}\int_{0}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}u}{u}\,du =\frac{2}{3}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{\pi}{3}

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