Calcule as seguintes integrais:
(f) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \cos x}{x^{2}-5 x+6} d x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\cos x}{x^{2}-5x+6}\,dx.
  • Observações importantes extraídas do enunciado:
    • O denominador fatoriza como \,x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\,. Logo há singularidades em x=2 e x=3, que estão sobre o eixo real.
    • Por causa dessas singularidades na reta real, a integral deve ser entendida como valor principal de Cauchy (PV — principal value).
    • A integral envolve \cos x, que é a parte real de e^{ix}; isso sugere usar linearidade e uma identidade conhecida para integrais tipo \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x-a}\,dx.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): vamos decompor a função racional em frações parciais para escrever
\frac{x}{x^{2}-5x+6}
como soma de termos da forma \dfrac{C}{x-a}. Depois usaremos a identidade (a provar) para o valor principal
\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x-a}\,dx.
Isso transforma o problema em contas elementares. Vou agora provar a identidade que usarei.

Passo 3

Provar a identidade básica (passo didático):
vamos calcular primeiro a integral principal complexa
I(a)=\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x-a}\,dx,
com a\in\mathbb{R}. Procedimento (esquema claro e controlado):
  • Considere a função complexa f(z)=\dfrac{e^{iz}}{z-a}. Ela tem um pólo simples em z=a (sobre o eixo real).
  • Fechamos o contorno com um semicírculo de raio R no semiplano superior (onde \operatorname{Im} z>0). Em torno do pólo em x=a fazemos uma pequena semi-circunferência de raio \varepsilon que passa por cima (indentação acima do polo), para evitar o pólo na reta real. Esse é o contorno padrão para obter o valor principal.
  • Pelo teorema dos resíduos, como não há polos estritamente no semiplano superior (o pólo está sobre o eixo e foi deixado fora do interior pela indentação), a integral sobre o contorno fechado vale zero:
\text{(integral sobre a reta real excluindo pequenos arcos)}+\text{(soma das pequenas semi-circunferências)}+\text{(arco grande)}=0.ê
  • Pelo lema de Jordan, quando R\to\infty o arco grande contribui 0 porque e^{iz} decai exponencialmente no semiplano superior.
  • A integral sobre a reta real excluindo a vizinhança do pólo tende para \operatorname{PV}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{e^{ix}}{x-a}\,dx.
  • Resta calcular a contribuição do pequeno arco semicircular acima do pólo. Parametrizando esse arco por z=a+\varepsilon e^{i\theta} com \theta indo de \pi a 0 (trajeto da esquerda para a direita pela semicircunferência superior), tem-se, quando \varepsilon\to0,
\int_{\text{pequeno arco}} \frac{e^{iz}}{z-a}\,dz = i e^{ia}\int_{\pi}^{0} e^{i\varepsilon e^{i\theta}}\,d\theta \longrightarrow i e^{ia}\int_{\pi}^{0}1\,d\theta = -i\pi e^{ia}.
  • Como a soma das contribuições é zero, obtemos
\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x-a}\,dx + (-i\pi e^{ia}) = 0,
portanto
\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ix}}{x-a}\,dx = i\pi e^{ia}.
  • Tomando a parte real dessa identidade (já que \cos x=\Re(e^{ix})) resulta
\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x-a}\,dx = \Re\!\left(i\pi e^{ia}\right) = -\pi\sin a.
Esta é a identidade que precisaremos:
\boxed{\displaystyle \operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x-a}\,dx = -\pi\sin a.}

Passo 4

Decomposição em frações parciais (passo mecânico, muito importante para a prova):
fatoramos o denominador e escrevemos
\frac{x}{x^{2}-5x+6}=\frac{x}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}.
Multiplicando por (x-2)(x-3)\) obtemos \[x = A(x-3)+B(x-2) = (A+B)x - (3A+2B).
Comparando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] 3A+2B=0. \end{cases}
Resolvendo: da segunda equação 2B=-3A\Rightarrow B=-\tfrac{3}{2}A\]. Substituindo em \(A+B=1:
A - \tfrac{3}{2}A = 1 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{1}{2}A=1 \quad\Rightarrow\quad A=-2.
Então B= -\tfrac{3}{2}(-2)=3. Logo a decomposição é
\frac{x}{x^{2}-5x+6} = -\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x-3}.]

Passo 5

Aplicar a identidade e calcular a integral original:
usando linearidade,
\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\cos x}{x^{2}-5x+6}\,dx = -2\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x-2}\,dx +3\operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x-3}\,dx.
Pelo resultado do Passo 3, para qualquer real a vale \operatorname{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{\cos x}{x-a}\,dx=-\pi\sin a. Assim
-2\big(-\pi\sin 2\big) + 3\big(-\pi\sin 3\big) = 2\pi\sin 2 - 3\pi\sin 3.
Fatorando \pi,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\cos x}{x^{2}-5x+6}\,dx = \pi\big(2\sin 2 - 3\sin 3\big).

Resposta

\displaystyle \pi\big(2\sin 2 - 3\sin 3\big)

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