Calcule as seguintes integrais:
(f)
.
(f)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular a integral imprópria
- Observações importantes extraídas do enunciado:
- O denominador fatoriza como
. Logo há singularidades em e , que estão sobre o eixo real. - Por causa dessas singularidades na reta real, a integral deve ser entendida como valor principal de Cauchy (PV — principal value).
- A integral envolve
, que é a parte real de ; isso sugere usar linearidade e uma identidade conhecida para integrais tipo .
- O denominador fatoriza como
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): vamos decompor a função racional em frações parciais para escrever
como soma de termos da forma
. Depois usaremos a identidade (a provar) para o valor principal
Isso transforma o problema em contas elementares. Vou agora provar a identidade que usarei.
Passo 3
Provar a identidade básica (passo didático):
vamos calcular primeiro a integral principal complexa
vamos calcular primeiro a integral principal complexa
com
. Procedimento (esquema claro e controlado):
- Considere a função complexa
. Ela tem um pólo simples em (sobre o eixo real). - Fechamos o contorno com um semicírculo de raio
no semiplano superior (onde ). Em torno do pólo em fazemos uma pequena semi-circunferência de raio que passa por cima (indentação acima do polo), para evitar o pólo na reta real. Esse é o contorno padrão para obter o valor principal. - Pelo teorema dos resíduos, como não há polos estritamente no semiplano superior (o pólo está sobre o eixo e foi deixado fora do interior pela indentação), a integral sobre o contorno fechado vale zero:
- Pelo lema de Jordan, quando
o arco grande contribui porque decai exponencialmente no semiplano superior. - A integral sobre a reta real excluindo a vizinhança do pólo tende para
. - Resta calcular a contribuição do pequeno arco semicircular acima do pólo. Parametrizando esse arco por
com indo de a (trajeto da esquerda para a direita pela semicircunferência superior), tem-se, quando ,
- Como a soma das contribuições é zero, obtemos
portanto
- Tomando a parte real dessa identidade (já que
) resulta
Esta é a identidade que precisaremos:
Passo 4
Decomposição em frações parciais (passo mecânico, muito importante para a prova):
fatoramos o denominador e escrevemos
fatoramos o denominador e escrevemos
Multiplicando por
Comparando coeficientes obtemos o sistema
Resolvendo: da segunda equação
:
Então
. Logo a decomposição é
Passo 5
Aplicar a identidade e calcular a integral original:
usando linearidade,
usando linearidade,
Pelo resultado do Passo 3, para qualquer real
vale
. Assim
Fatorando
,