Calcule
de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o valor de
Informações relevantes fornecidas:
- Para .
- Em
, . - A única possível descontinuidade pode ocorrer em
(pois para a expressão já está dada).]
Passo 2
Lembrete do que significa "ser contínua em
". A função
é contínua em
se, e somente se,
Aqui:
-
é o valor que os valores de se aproximam quando se aproxima de . -
é o valor definido da função no ponto , que neste problema é .
Portanto, para garantir continuidade emprecisamos igualar o limite (quando ) ao valor .
Passo 3
Calcular o limite
. Como para
temos
, o limite é
A função exponencial
é contínua em todos os reais, portanto o limite é simplesmente o valor em
:
Passo 4
Impor a condição de continuidade: igualar o limite ao valor da função em
:
Agora resolver essa equação para
. Somando
em ambos os lados:
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:
Observação: para
real a equação cúbica tem uma única raiz real e ela é
. (Se alguém considerasse
complexo, existiriam outras raízes complexas, mas o problema usualmente pede
real.)
Passo 5
Verificação rápida: com
temos
, que coincide com
. Logo a função fica contínua em
e, por consequência, contínua em todo
.