Calcule p de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\mathrm{e}^{x} & \text { se } & x \neq 0, \\\ p^{3}-7 & \text { se } & x=0,\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor de p\) de modo que a função definida por partes abaixo seja contínua em todo ponto (o ponto crítico é \(x=0\)): \[f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^{x} & \text{se } x\neq 0,\\[4pt] p^{3}-7 & \text{se } x=0. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x\neq 0\], \(f(x)=\mathrm{e}^{x}.
  • Em x=0, f(0)=p^{3}-7.
  • A única possível descontinuidade pode ocorrer em x=0 (pois para x\neq0 a expressão \mathrm{e}^{x} já está dada).]

Passo 2

Lembrete do que significa "ser contínua em x=0". A função f é contínua em x=0 se, e somente se,
\lim_{x\to 0} f(x) = f(0).
Aqui:
  • \lim_{x\to 0} f(x) é o valor que os valores de f(x) se aproximam quando x se aproxima de 0.
  • f(0) é o valor definido da função no ponto 0, que neste problema é p^{3}-7.
    Portanto, para garantir continuidade em 0 precisamos igualar o limite (quando x\to0) ao valor p^{3}-7.

Passo 3

Calcular o limite \lim_{x\to0} f(x). Como para x\neq 0 temos f(x)=\mathrm{e}^{x}, o limite é
\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} \mathrm{e}^{x}.
A função exponencial \mathrm{e}^{x} é contínua em todos os reais, portanto o limite é simplesmente o valor em 0:
\lim_{x\to 0} \mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{0} = 1.

Passo 4

Impor a condição de continuidade: igualar o limite ao valor da função em 0:
p^{3}-7 = 1.
Agora resolver essa equação para p. Somando 7 em ambos os lados:
p^{3} = 8.
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:
p = \sqrt[3]{8} = 2.
Observação: para p real a equação cúbica tem uma única raiz real e ela é 2. (Se alguém considerasse p complexo, existiriam outras raízes complexas, mas o problema usualmente pede p real.)

Passo 5

Verificação rápida: com p=2 temos f(0)=p^{3}-7=8-7=1, que coincide com \lim_{x\to0} f(x)=1. Logo a função fica contínua em 0 e, por consequência, contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

p=2

Exercícios relacionados