Explique por que a função é descontínua no número dado
.
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e o ponto
.
A pergunta é: explicar por que a função é descontínua em .
A pergunta é: explicar por que a função é descontínua em
Informações relevantes fornecidas:
- Para
, . - Para
, . - O ponto em que queremos verificar continuidade é
.]
Passo 2
Lembrete do que significa "função contínua em
". Uma função
é contínua em
se e somente se as três coisas seguintes acontecem simultaneamente:
- o limite à esquerda existe:
existe; - o limite à direita existe:
existe; - os limites laterais são iguais e igualam o valor da função em
: .
Na prática, para funções definidas por partes, o teste rápido é: calcular
,
e
. Se os dois limites laterais não coincidirem ou não coincidirem com
, a função é descontínua em
.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda em
. Para
temos
. A exponencial é contínua em todo real, então
Explicando devagar: aproximando
de
vindo da esquerda (valores negativos),
tende a
, que é
.
Passo 4
Calcular o limite pela direita em
. Para
temos
. O polinômio
é contínuo em todo real, então
Explicando: aproximando
de
vindo da direita (valores não-negativos),
tende a
.
Passo 5
Calcular o valor da função em
. Pelo enunciado, para
usamos a segunda parte, então
Passo 6
Comparar os limites laterais e
. Encontramos
Como os limites laterais não são iguais (
), o limite
não existe. Pela definição de continuidade, para ser contínua em
a função precisaria ter limites laterais iguais e iguais a
; isso não ocorre aqui. Portanto
é descontínua em
.
Comentário prático para prova: em funções por partes é quase sempre o mesmo procedimento — calcule limite pela esquerda, pela direita e o valor no ponto; se os dois limites não coincidirem, já dá para concluir descontinuidade (tipo salto ou “jump discontinuity”). Aqui é exatamente um salto entre
e
.
Resposta
A função é descontínua em
porque
.