Explique por que a função é descontínua no número dado a.
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\mathrm{e}^{x} & \text { se } & x<0, \\\ x^{2} & \text { se } & x \geq 0,\end{array} \quad a=0\right..

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^{x}, & x<0,\\[4pt] x^{2}, & x\ge 0, \end{cases}
e o ponto a=0.
A pergunta é: explicar por que a função é descontínua em a=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<0, f(x)=\mathrm{e}^{x}.
  • Para x\ge 0, f(x)=x^{2}.
  • O ponto em que queremos verificar continuidade é a=0.]

Passo 2

Lembrete do que significa "função contínua em a". Uma função f é contínua em a se e somente se as três coisas seguintes acontecem simultaneamente:
  1. o limite à esquerda existe: \lim_{x\to a^-} f(x) existe;
  2. o limite à direita existe: \lim_{x\to a^+} f(x) existe;
  3. os limites laterais são iguais e igualam o valor da função em a: \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
Na prática, para funções definidas por partes, o teste rápido é: calcular \lim_{x\to a^-} f(x), \lim_{x\to a^+} f(x) e f(a). Se os dois limites laterais não coincidirem ou não coincidirem com f(a), a função é descontínua em a.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda em 0. Para x<0 temos f(x)=\mathrm{e}^{x}. A exponencial é contínua em todo real, então
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} \mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{0}=1.
Explicando devagar: aproximando x de 0 vindo da esquerda (valores negativos), e^{x} tende a e^{0}, que é 1.

Passo 4

Calcular o limite pela direita em 0. Para x\ge 0 temos f(x)=x^{2}. O polinômio x^{2} é contínuo em todo real, então
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} x^{2}=0^{2}=0.
Explicando: aproximando x de 0 vindo da direita (valores não-negativos), x^{2} tende a 0.

Passo 5

Calcular o valor da função em 0. Pelo enunciado, para x\ge 0 usamos a segunda parte, então
f(0)=0^{2}=0.

Passo 6

Comparar os limites laterais e f(0). Encontramos
\lim_{x\to 0^-} f(x)=1,\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=0,\qquad f(0)=0.
Como os limites laterais não são iguais ( 1\neq 0), o limite \lim_{x\to 0} f(x) não existe. Pela definição de continuidade, para ser contínua em 0 a função precisaria ter limites laterais iguais e iguais a f(0); isso não ocorre aqui. Portanto f é descontínua em 0.
Comentário prático para prova: em funções por partes é quase sempre o mesmo procedimento — calcule limite pela esquerda, pela direita e o valor no ponto; se os dois limites não coincidirem, já dá para concluir descontinuidade (tipo salto ou “jump discontinuity”). Aqui é exatamente um salto entre 1 e 0.

Resposta

A função é descontínua em 0 porque \lim_{x\to0^-}f(x)=1\neq0=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0).

Exercícios relacionados