Investigue a continuidade nos pontos indicados:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-4}{x-2} & \text { se } \quad x \neq 2, \\\\ 0 & \text { se } \quad x=2,\end{array} \quad\right. em x=2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-4}{x-2}, & \text{se } x\neq 2,\\[6pt] 0, & \text{se } x=2. \end{cases}
O que se pede: investigar a continuidade de f no ponto x=2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão para f(x) quando x\neq2 é \dfrac{x^{2}-4}{x-2}.
  • O valor explícito de f no ponto x=2 é f(2)=0.
  • Precisa-se verificar se f é contínua em x=2, o que envolve calcular \lim_{x\to2}f(x) e comparar com f(2).]

Passo 2

Lembrete da definição prática de continuidade num ponto (aula rápida e prática):
Uma função f é contínua em x=a se e somente se os três itens seguintes ocorrerem:
  1. \lim_{x\to a} f(x) existe;
  2. f(a) está definido;
  3. \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Aqui a=2. Já sabemos que f(2) está definido e vale 0. Então precisamos calcular \lim_{x\to2} f(x) e comparar com 0.

Passo 3

Para calcular o limite, observe a expressão para x\neq2. Vamos fatorar o numerador:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2).
Substituindo na definição para x\neq2:
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
Como estamos no caso x\neq2, podemos simplificar o factor (x-2):
f(x)=x+2\qquad\text{para }x\neq2.

Passo 4

Agora que f(x)=x+2 para x próximos de 2 (exceto exatamente em 2), podemos calcular o limite usando a continuidade das funções polinomiais (soma e identidade são contínuas):
\lim_{x\to2} f(x)=\lim_{x\to2} (x+2)=2+2=4.
Observação: isso também mostra que os limites laterais existem e são iguais a 4: \lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^+}f(x)=4.

Passo 5

Compare o limite com o valor da função no ponto:
  • [\lim_{x\to2} f(x)=4).
  • f(2)=0.
Como \lim_{x\to2} f(x)\neq f(2), pela definição de continuidade (Passo 2) a função f NÃO é contínua em x=2.
Classificação do tipo de descontinuidade: aqui o limite existe (é finito) mas é diferente do valor da função em 2. Isso é chamado de descontinuidade removível. Explicando de forma prática: basta redefinir f(2) para ser igual a 4 para “remover” a descontinuidade — ou seja, definir
\tilde f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-4}{x-2}, & x\neq2,\\[4pt] 4, & x=2, \end{cases}
teria \tilde f\] contínua em \(x=2.]

Resposta

\lim_{x\to2}f(x)=4
f(2)=0
A função f não é contínua em x=2. Trata-se de uma descontinuidade removível (o limite existe e é 4, diferente do valor 0).

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