Calcule o módulo e a fase:
Passo 1
O enunciado pede: calcular o módulo e a fase da função complexa de frequência
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
Vou assumir que
é um número real (variável de frequência real), que é o caso habitual nessas questões. O objetivo é obter expressões para o módulo
e para a fase
.
Passo 2
Lembrações úteis (mini-aula):
- Para quaisquer números complexos
vale e (soma de argumentos, com cuidado de ramos). - Se
com reais, então o módulo é e o argumento pode ser escrito como (função dá o ângulo correto levando em conta o quadrante).
Aplicando essas propriedades, escrevemos o módulo como produto/quociente dos módulos dos fatores:
Passo 3
Calculemos cada módulo para
:
-
(número real). -
porque . -
. -
(parte real , parte imaginária ).
Agora combine:
os dois fatores conjugados no numerador dão
os dois fatores conjugados no numerador dão
os dois fatores conjugados no denominador dão
Portanto, simplificando:
Passo 4
Explico o que essa expressão significa e como usá-la na prova:
- Para qualquer
real você calcula (valor absoluto: se , e se ); - multiplica por
; - divide por
; - e divide pelo fator
.
Essa expressão é direta e pode ser avaliada sem calculadora para valores simples de; para valores gerais, dá uma forma analítica para comparar ganhos ou estudar comportamento assintótico (por exemplo, para vemos constante; mais precisamente tende a vezes sinais de fatores reais, pois graus iguais nos numerador e denominador).
Passo 5
Agora vamos à fase. Uso a propriedade de soma de argumentos:
Para
os pares conjugados têm argumentos opostos:
logo
De modo análogo,
Portanto muitos termos se cancelam e sobra
Passo 6
Expressões explícitas dos dois termos restantes:
(com salto em
o argumento não está definido porque o fator é zero).
- Para o pólo
temos
Observe que
, portanto
Passo 7
Juntando tudo obtemos a expressão final da fase. Em termos práticos, para
Explicando como avaliar
então
(ângulo entre
e
); quando
então
(ângulo entre
e
). A expressão em
é a mais segura para provas porque cobre todos os quadrantes.]
Passo 8
Observações finais (úteis para prova):
- A fase tem descontinuidade em
(zero do numerador) e a função não é definida aí. - A fase pode ser ajustada por
se você preferir apresentar em ramo contínuo; o importante em prova é justificar as somas/cancelamentos dos argumentos e indicar os saltos de quando um fator real muda de sinal. - Se precisar de uma forma única sem
, use as formas por casos em função do sinal de e do sinal de .