Calcule o módulo e a fase:
H(\omega)=\frac{(\omega+2)(\omega+j)(\omega-j)}{(\omega+j \sqrt{3})(\omega-j \sqrt{3})(\omega-j-4)}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o módulo e a fase da função complexa de frequência
H(\omega)=\frac{(\omega+2)(\omega+j)(\omega-j)}{(\omega+j \sqrt{3})(\omega-j \sqrt{3})(\omega-j-4)}.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
\text{zeros: }\omega=-2,\\ \omega= -j,\\ \omega=+j.
\text{pólos: }\omega= j\sqrt{3},\\ \omega=-j\sqrt{3},\\ \omega=4+j \quad\text{(observe que }\omega-j-4=\omega-(4+j)\text{).}ó
Vou assumir que \omega é um número real (variável de frequência real), que é o caso habitual nessas questões. O objetivo é obter expressões para o módulo |H(\omega)| e para a fase \arg H(\omega).

Passo 2

Lembrações úteis (mini-aula):
  • Para quaisquer números complexos z_1,z_2 vale |z_1 z_2|=|z_1|\,|z_2| e \arg(z_1 z_2)=\arg z_1+\arg z_2 (soma de argumentos, com cuidado de ramos).
  • Se z=x+jy com x,y reais, então o módulo é |z|=\sqrt{x^2+y^2} e o argumento pode ser escrito como \arg z=\operatorname{atan2}(y,x) (função \operatorname{atan2} dá o ângulo correto levando em conta o quadrante).
    Aplicando essas propriedades, escrevemos o módulo como produto/quociente dos módulos dos fatores:
|H(\omega)|=\frac{|\omega+2|\;|\omega+j|\;|\omega-j|}{|\omega+j\sqrt{3}|\;|\omega-j\sqrt{3}|\;|\omega-(4+j)|}.

Passo 3

Calculemos cada módulo para \omega\in\mathbb{R}:
  • |\omega+2| = |\omega+2| (número real).
  • |\omega\pm j| = \sqrt{\omega^2+1} porque (\omega)^2+( \pm1)^2=\omega^2+1.
  • |\omega\pm j\sqrt{3}| = \sqrt{\omega^2+3}.
  • |\omega-(4+j)| = \sqrt{(\omega-4)^2+1} (parte real \omega-4, parte imaginária -1).
Agora combine:
os dois fatores conjugados no numerador dão
|\omega+j|\,|\omega-j|=\big(\sqrt{\omega^2+1}\big)\big(\sqrt{\omega^2+1}\big)=\omega^2+1.
os dois fatores conjugados no denominador dão
|\omega+j\sqrt{3}|\,|\omega-j\sqrt{3}|=\big(\sqrt{\omega^2+3}\big)\big(\sqrt{\omega^2+3}\big)=\omega^2+3.
Portanto, simplificando:
|H(\omega)|=\frac{|\omega+2|\,(\omega^2+1)}{(\omega^2+3)\,\sqrt{(\omega-4)^2+1}}.

Passo 4

Explico o que essa expressão significa e como usá-la na prova:
  • Para qualquer \omega real você calcula |\omega+2| (valor absoluto: \omega+2 se \omega\ge-2, e -(\omega+2) se \omega<-2);
  • multiplica por \omega^2+1;
  • divide por \omega^2+3;
  • e divide pelo fator \sqrt{(\omega-4)^2+1}.
    Essa expressão é direta e pode ser avaliada sem calculadora para valores simples de \omega; para valores gerais, dá uma forma analítica para comparar ganhos ou estudar comportamento assintótico (por exemplo, para |\omega|\to\infty vemos |H(\omega)|\sim \frac{|\omega|^3}{|\omega|^3}= constante; mais precisamente tende a 1 vezes sinais de fatores reais, pois graus iguais nos numerador e denominador).

Passo 5

Agora vamos à fase. Uso a propriedade de soma de argumentos:
\arg H(\omega)=\arg(\omega+2)+\arg(\omega+j)+\arg(\omega-j)-\arg(\omega+j\sqrt{3})-\arg(\omega-j\sqrt{3})-\arg(\omega-(4+j)).
Para \omega\in\mathbb{R} os pares conjugados têm argumentos opostos:
\arg(\omega+j)=\operatorname{atan2}(1,\omega),\qquad \arg(\omega-j)=\operatorname{atan2}(-1,\omega)=-\operatorname{atan2}(1,\omega),
logo
\arg(\omega+j)+\arg(\omega-j)=0.
De modo análogo,
\arg(\omega+j\sqrt{3})+\arg(\omega-j\sqrt{3})=0.
Portanto muitos termos se cancelam e sobra
\arg H(\omega)=\arg(\omega+2)-\arg(\omega-(4+j)).

Passo 6

Expressões explícitas dos dois termos restantes:
  • \arg(\omega+2)\) é o argumento de um número real; portanto \[\arg(\omega+2)=\begin{cases} 0, & \omega>-2,\\[4pt] \pi, & \omega<-2, \end{cases}
(com salto em \omega=-2\]; em \(\omega=-2 o argumento não está definido porque o fator é zero).
  • Para o pólo 4+j temos
\arg(\omega-(4+j))=\operatorname{atan2}(-1,\;\omega-4).
Observe que \operatorname{atan2}(-1,\omega-4)=-\operatorname{atan2}(1,\omega-4), portanto
-\arg(\omega-(4+j)) = -\operatorname{atan2}(-1,\omega-4)=\operatorname{atan2}(1,\omega-4).]

Passo 7

Juntando tudo obtemos a expressão final da fase. Em termos práticos, para \omega\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}\): \[\arg H(\omega)=\arg(\omega+2)-\arg(\omega-(4+j)) =\begin{cases} \operatorname{atan2}(1,\;\omega-4), & \omega>-2,\\[6pt] \pi+\operatorname{atan2}(1,\;\omega-4), & \omega<-2. \end{cases}
Explicando como avaliar \operatorname{atan2}(1,\omega-4)\]: quando \(\omega-4>0 então \operatorname{atan2}(1,\omega-4)=\arctan\!\big(\dfrac{1}{\omega-4}\big) (ângulo entre 0 e \tfrac{\pi}{2}); quando \omega-4<0 então \operatorname{atan2}(1,\omega-4)=\pi+\arctan\!\big(\dfrac{1}{\omega-4}\big) (ângulo entre \tfrac{\pi}{2} e \pi). A expressão em \operatorname{atan2} é a mais segura para provas porque cobre todos os quadrantes.]

Passo 8

Observações finais (úteis para prova):
  • A fase tem descontinuidade em \omega=-2 (zero do numerador) e a função não é definida aí.
  • A fase pode ser ajustada por 2\pi se você preferir apresentar em ramo contínuo; o importante em prova é justificar as somas/cancelamentos dos argumentos e indicar os saltos de \pi quando um fator real muda de sinal.
  • Se precisar de uma forma única sem \operatorname{atan2}, use as formas por casos em função do sinal de \omega+2 e do sinal de \omega-4.

Resposta

|H(\omega)|=\frac{|\omega+2|\,(\omega^2+1)}{(\omega^2+3)\,\sqrt{(\omega-4)^2+1}}
\arg H(\omega)=\begin{cases} \operatorname{atan2}\big(1,\;\omega-4\big), & \omega>-2,\\[6pt] \pi+\operatorname{atan2}\big(1,\;\omega-4\big), & \omega<-2. \end{cases}]

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