Encontre o módulo e o argumento:
(3+4 i)^{2}(-1-i)^{6}

Passo 1

O que o exercício pede: encontrar o módulo e o argumento do número complexo
(3+4i)^{2}(-1-i)^{6}.
Informações dadas: os dois fatores 3+4i e -1-i em forma retangular. Não há figura nem informação adicional. Nós precisamos fornecer:
\text{(a) } \left| (3+4i)^{2}(-1-i)^{6} \right|
\text{(b) } \arg\big((3+4i)^{2}(-1-i)^{6}\big).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação do porquê): existem duas maneiras naturais — usar forma polar e a fórmula de De Moivre ou fazer a conta algébrica direta com potências e multiplicação. A forma algébrica é mais direta aqui porque as potências baixas permitem simplificações fáceis (por exemplo, (-1-i)^2 fica simples). Vou então calcular explicitamente (3+4i)^2, (-1-i)^6 e multiplica-los; isso é suficiente e usa apenas álgebra básica com complexos.

Passo 3

Calcular (3+4i)^2 passo a passo:
(3+4i)^2 = (3+4i)(3+4i).
Multiplicando termo a termo:
(3+4i)^2 = 3\cdot3 + 3\cdot4i + 4i\cdot3 + 4i\cdot4i.
Agora calcular cada parte (lembrando que i^2=-1):
3\cdot3 = 9,\quad 3\cdot4i = 12i,\quad 4i\cdot3 = 12i,\quad 4i\cdot4i = 16i^2 = 16(-1) = -16.
Somando:
(3+4i)^2 = 9 -16 + 12i + 12i = -7 + 24i.

Passo 4

Calcular (-1-i)^6 usando fatorizações simples:
Primeiro,
(-1-i)^2 = (-1-i)(-1-i).
Multiplicando:
(-1-i)^2 = (-1)^2 + 2(-1)(-i) + (-i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i -1 = 2i.
Então
(-1-i)^6 = \big((-1-i)^2\big)^3 = (2i)^3.
Calcule (2i)^3:
(2i)^3 = 2^3 i^3 = 8 i^3.
Lembre que i^3 = i^2\cdot i = (-1)\cdot i = -i. Assim
(2i)^3 = 8(-i) = -8i.

Passo 5

Multiplicar os resultados obtidos:
(3+4i)^2(-1-i)^6 = (-7 + 24i)\cdot(-8i).
Distribuindo:
(-7)(-8i) + (24i)(-8i) = 56i -192 i^2.
Como i^2=-1,
56i -192 i^2 = 56i -192(-1) = 56i +192 = 192 + 56i.
Então o número final em forma retangular é
z = 192 + 56i.

Passo 6

Agora encontramos o módulo |z| e o argumento \arg(z) de z=192+56i.
Definições rápidas (aula curta): para z = x + yi,
\text{módulo: } |z| = \sqrt{x^2 + y^2},ó
\text{argumento: } \arg(z) = \text{ângulo cujo tangente é } \frac{y}{x},âé
lembrando ajustar o quadrante pelo sinal de x e y.
Aqui x=192 e y=56, ambos positivos, logo estamos no primeiro quadrante e não há ajuste de quadrante a fazer.
Calcular o módulo:
|z| = \sqrt{192^2 + 56^2}.
Fatorando 8 em comum: 192=8\cdot24 e 56=8\cdot7. Então
|z| = \sqrt{(8\cdot24)^2 + (8\cdot7)^2} = \sqrt{8^2(24^2 + 7^2)} = 8\sqrt{24^2 + 7^2}.
Calcule 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625. Assim
|z| = 8\sqrt{625} = 8\cdot25 = 200.
(Observação rápida: isso bate com a propriedade |z_1 z_2|=|z_1||z_2|: |3+4i|=5 \Rightarrow |3+4i|^2=25, |-1-i|=\sqrt{2}\Rightarrow | -1-i|^6=(\sqrt{2})^6=8, multiplicando 25\cdot8=200.)
Calcular o argumento:
\arg(z) = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\!\left(\frac{56}{192}\right).
Simplificando a fração divide-se por 8:
\frac{56}{192} = \frac{7}{24}.
Como x>0 e y>0, estamos no primeiro quadrante e o argumento principal é simplesmente
\arg(z) = \arctan\!\left(\frac{7}{24}\right).
(Se quiser um valor numérico aproximado: \arctan\!\left(\dfrac{7}{24}\right)\approx 0{,}2838 rad \approx 16{,}27^\circ.)

Resposta

200
\displaystyle \arg\big((3+4i)^{2}(-1-i)^{6}\big)=\arctan\!\left(\dfrac{7}{24}\right)

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