Encontre o módulo e o argumento:
Passo 1
O enunciado pede o módulo e o argumento do número complexo
Informações dadas que vamos usar:
As perguntas explícitas são:
- Qual o módulo de
? - Qual o argumento de
?
Passo 2
Primeiro simplificamos a fração
. Uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a parte imaginária no denominador. O conjugado de
é
. Então:
Calculamos numerador e denominador separadamente:
Logo
Comentário didático: multiplicar pelo conjugado é útil porque
é real; aqui isso nos permitiu simplificar a fração.
Passo 3
Agora elevamos ao oitavo:
É útil lembrar a sequência periódica das potências de
:
e a partir daí a sequência se repete a cada 4 potências (período 4). Assim
Alternativa (opcional e conceitual): escrever
em forma polar
e usar potências exponenciais:
Passo 4
Agora encontramos módulo e argumento do número obtido
.
Definições rápidas e didáticas:
- Para um número complexo
, o módulo é . Ele mede a distância de à origem no plano complexo. - O argumento
é o ângulo entre o eixo real positivo e o vetor que representa ; pode ser obtido por , com cuidado nas quadrantes. O argumento principal costuma ser dado em ou em dependendo da convenção.
Para
temos
e
. Então:
E o argumento principal de
é o ângulo zero (o ponto
está sobre o eixo real positivo), portanto
(ou, escrevendo de forma equivalente,
para qualquer inteiro
; o principal é
).