Encontre o módulo e o argumento:
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{8}

Passo 1

O enunciado pede o módulo e o argumento do número complexo
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{8}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{o expressão } \frac{1+i}{1-i} \quad\text{(numerador }1+i\text{ e denominador }1-i\text{)}.ã
As perguntas explícitas são:
  1. Qual o módulo de \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{8}?
  2. Qual o argumento de \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{8}?

Passo 2

Primeiro simplificamos a fração \dfrac{1+i}{1-i}. Uma técnica padrão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar a parte imaginária no denominador. O conjugado de 1-i é 1+i. Então:
\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}.
Calculamos numerador e denominador separadamente:
(1+i)(1+i)=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i,
(1-i)(1+i)=1^2-i^2=1-(-1)=2.
Logo
\frac{1+i}{1-i}=\frac{2i}{2}=i.
Comentário didático: multiplicar pelo conjugado é útil porque (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 é real; aqui isso nos permitiu simplificar a fração.

Passo 3

Agora elevamos ao oitavo:
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{8}=i^{8}.
É útil lembrar a sequência periódica das potências de i:
i^1=i,\qquad i^2=-1,\qquad i^3=-i,\qquad i^4=1,
e a partir daí a sequência se repete a cada 4 potências (período 4). Assim
i^{8}=(i^{4})^{2}=1^{2}=1.
Alternativa (opcional e conceitual): escrever i em forma polar i=e^{i\pi/2} e usar potências exponenciais:
i^{8}=(e^{i\pi/2})^{8}=e^{i4\pi}=1.

Passo 4

Agora encontramos módulo e argumento do número obtido 1.
Definições rápidas e didáticas:
  • Para um número complexo z=x+iy, o módulo é |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Ele mede a distância de z à origem no plano complexo.
  • O argumento \arg(z) é o ângulo entre o eixo real positivo e o vetor que representa z; pode ser obtido por \arg(z)=\operatorname{atan2}(y,x), com cuidado nas quadrantes. O argumento principal costuma ser dado em (-\pi,\pi] ou em [0,2\pi) dependendo da convenção.
Para z=1 temos x=1 e y=0. Então:
|1|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=\sqrt{1}=1.
E o argumento principal de 1 é o ângulo zero (o ponto 1 está sobre o eixo real positivo), portanto
\arg(1)=0
(ou, escrevendo de forma equivalente, \arg(1)=0+2k\pi para qualquer inteiro k; o principal é 0).

Resposta

|\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{8}| = 1\n \arg\left(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{8}\right) = 0

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