Calcule o módulo das seguintes expressões:
i) \forall a, b \in \mathbb{N}, b>a,\left|\frac{|a-b|}{|a+b|}-1\right|=

Passo 1

O enunciado dá claramente as informações abaixo:
  • a,b\in\mathbb{N} e b>a.
  • Pede para calcular o valor de \displaystyle \left|\frac{|a-b|}{|a+b|}-1\right|.

Passo 2

Primeiro, entender o que valem os módulos dados as hipóteses. Como b>a e a,b são naturais (positivos),
|a-b|=b-a
porque a diferença é positiva, e
|a+b|=a+b
porque soma de naturais é positiva.
Substituindo esses resultados na expressão original obtemos:
\left|\frac{|a-b|}{|a+b|}-1\right| = \left|\frac{b-a}{a+b}-1\right|.

Passo 3

Agora vamos simplificar a expressão dentro do módulo passo a passo. Para subtrair 1 de uma fração, escrevemos 1 com o mesmo denominador:
\frac{b-a}{a+b}-1 = \frac{b-a}{a+b}-\frac{a+b}{a+b} = \frac{(b-a)-(a+b)}{a+b}.
Calcule o numerador:
(b-a)-(a+b)=b-a-a-b=-2a.
Logo
\frac{b-a}{a+b}-1=\frac{-2a}{a+b}=-\frac{2a}{a+b}.

Passo 4

Falta aplicar o valor absoluto. Temos uma fração negativa porque o numerador -2a é negativo ( a>0) e o denominador a+b é positivo; portanto
\left|-\frac{2a}{a+b}\right|=\frac{2a}{a+b}.
Assim a expressão original vale \dfrac{2a}{a+b}. Para intuição rápida: se a=1 e b=2 então a expressão dá \dfrac{2\cdot1}{1+2}=\dfrac{2}{3}, conferindo o cálculo.

Resposta

\displaystyle \frac{2a}{a+b}

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