Calcule o momento de inércia de um cubo homogêneo de massa M e aresta ell, em relação ao um eixo que passa pelos centros de duas faces opostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o momento de inércia de um cubo homogêneo com massa M e aresta ell, em relação a um eixo que passa pelo centro de duas faces opostas. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo para formas geométricas simples como o cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. É uma medida de quanta resistência um objeto oferece à rotação em torno de um eixo. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é iniciar ou parar a rotação.

Passo 3

Para calcular o momento de inércia de um cubo em relação a um eixo específico, podemos usar a fórmula geral para sólidos regulares. No caso de um cubo, o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de duas faces opostas é dado por:
I = 16 M ell^2
Aqui:
  • I é o momento de inércia,
  • M é a massa do cubo,
  • ell é a aresta do cubo.

Passo 4

Essa fórmula deriva da integração da distribuição de massa do cubo em torno do eixo escolhido. Como o cubo é homogêneo, a massa está distribuída uniformemente, o que simplifica o cálculo.

Passo 5

Portanto, substituindo os valores conhecidos na fórmula, podemos calcular o momento de inércia do cubo. Basta multiplicar a massa M pelo quadrado da aresta ell^2 e dividir o resultado por 6.

Resposta

O momento de inércia do cubo em relação ao eixo que passa pelos centros de duas faces opostas é:
I = 16 M ell^2

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