Calcule o momento de inércia de um cubo homogêneo de massa
e aresta
, em relação ao um eixo que passa pelos centros de duas faces opostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para calcular o momento de inércia de um cubo homogêneo com massa
e aresta
, em relação a um eixo que passa pelo centro de duas faces opostas. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo para formas geométricas simples como o cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. É uma medida de quanta resistência um objeto oferece à rotação em torno de um eixo. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é iniciar ou parar a rotação.
Passo 3
Para calcular o momento de inércia de um cubo em relação a um eixo específico, podemos usar a fórmula geral para sólidos regulares. No caso de um cubo, o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de duas faces opostas é dado por:
Aqui:
-
é o momento de inércia, -
é a massa do cubo, -
é a aresta do cubo.
Passo 4
Essa fórmula deriva da integração da distribuição de massa do cubo em torno do eixo escolhido. Como o cubo é homogêneo, a massa está distribuída uniformemente, o que simplifica o cálculo.
Passo 5
Portanto, substituindo os valores conhecidos na fórmula, podemos calcular o momento de inércia do cubo. Basta multiplicar a massa
pelo quadrado da aresta
e dividir o resultado por 6.
Resposta
O momento de inércia do cubo em relação ao eixo que passa pelos centros de duas faces opostas é: