Nos problemas de física básica normalmente consideramos polias como sendo ideais, isto é, têm massa e dimensões desprezíveis. Veremos agora o efeito produzido por uma polia real. Para tanto, considere o sistema mostrado à direita, cuja polia pode ser considerada como um disco (ou cilindro de pequena altura) de massa
e raio
. Ela pode girar livremente em torno do eixo que passa pelo seu centro. A massa m pode deslizar sem atrito no plano horizontal e está ligada à massa suspensa
pelo fio que passa sobre a polia. Determine (a) a aceleração do sistema; (b) as tensões no fio. © Resolva o mesmo problema considerando a polia ideal e compare os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema com uma polia que não é ideal, ou seja, ela tem massa $ M $ e raio $ R $. Essa polia pode girar livremente em torno do seu centro. Tem uma massa $ m $ deslizando sem atrito em um plano horizontal e ligada a uma massa suspensa $ m’ $ por um fio que passa sobre a polia. A gente precisa:
a) Encontrar a aceleração do sistema;
b) Encontrar as tensões no fio;
c) Resolver o mesmo problema considerando a polia ideal e comparar os resultados.
b) Encontrar as tensões no fio;
c) Resolver o mesmo problema considerando a polia ideal e comparar os resultados.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e translacional, além de entender como a massa da polia afeta o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as forças atuando no sistema. Na massa $ m $ que desliza no plano, temos a força de tensão $ T_1 $ puxando para o lado. Na massa $ m’ $ suspensa, temos a força peso $ m’g $ puxando para baixo e a tensão $ T_2 $ puxando para cima. A polia, por ter massa, vai ter um momento de inércia que vai influenciar a aceleração.
O momento de inércia $ I $ de um disco é dado por:
Isso vai nos ajudar a relacionar a torque na polia com a aceleração angular.
Passo 3
Vamos relacionar as acelerações translacional e angular. A aceleração do sistema $ a $ está ligada à aceleração angular $ \alpha $ da polia pela relação:
Agora, aplicando a segunda lei de Newton para cada massa:
Para a massa $ m $:
Para a massa $ m’ $:
E para a polia, o torque total é:
Substituindo $ I $ e $ \alpha $:
Simplificando:
Agora temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar $ a $, $ T_1 $ e $ T_2 $.
Resposta
Resolvendo o sistema de equações:
- $ T_1 = m a $
- $ m’ g - T_2 = m’ a $
- $ T_2 - T_1 = \frac{1}{2} M a $
Substituindo $ T_1 $ na terceira equação:
Então:
Agora, substituindo $ T_2 $ na segunda equação:
Portanto, a aceleração do sistema é: