Nos problemas de física básica normalmente consideramos polias como sendo ideais, isto é, têm massa e dimensões desprezíveis. Veremos agora o efeito produzido por uma polia real. Para tanto, considere o sistema mostrado à direita, cuja polia pode ser considerada como um disco (ou cilindro de pequena altura) de massa M e raio R. Ela pode girar livremente em torno do eixo que passa pelo seu centro. A massa m pode deslizar sem atrito no plano horizontal e está ligada à massa suspensa m^prime pelo fio que passa sobre a polia. Determine (a) a aceleração do sistema; (b) as tensões no fio. © Resolva o mesmo problema considerando a polia ideal e compare os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema com uma polia que não é ideal, ou seja, ela tem massa $ M $ e raio $ R $. Essa polia pode girar livremente em torno do seu centro. Tem uma massa $ m $ deslizando sem atrito em um plano horizontal e ligada a uma massa suspensa $ m’ $ por um fio que passa sobre a polia. A gente precisa:
a) Encontrar a aceleração do sistema;
b) Encontrar as tensões no fio;
c) Resolver o mesmo problema considerando a polia ideal e comparar os resultados.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e translacional, além de entender como a massa da polia afeta o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as forças atuando no sistema. Na massa $ m $ que desliza no plano, temos a força de tensão $ T_1 $ puxando para o lado. Na massa $ m’ $ suspensa, temos a força peso $ m’g $ puxando para baixo e a tensão $ T_2 $ puxando para cima. A polia, por ter massa, vai ter um momento de inércia que vai influenciar a aceleração.
O momento de inércia $ I $ de um disco é dado por:
m
Isso vai nos ajudar a relacionar a torque na polia com a aceleração angular.

Passo 3

Vamos relacionar as acelerações translacional e angular. A aceleração do sistema $ a $ está ligada à aceleração angular $ \alpha $ da polia pela relação:
a
Agora, aplicando a segunda lei de Newton para cada massa:
Para a massa $ m $:
alpha
Para a massa $ m’ $:
a = alpha R
E para a polia, o torque total é:
m
Substituindo $ I $ e $ \alpha $:
T1 = m a
Simplificando:
m'
Agora temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar $ a $, $ T_1 $ e $ T_2 $.

Resposta

Resolvendo o sistema de equações:
  1. $ T_1 = m a $
  2. $ m’ g - T_2 = m’ a $
  3. $ T_2 - T_1 = \frac{1}{2} M a $
Substituindo $ T_1 $ na terceira equação:
T1 = m a
Então:
m' g - T2 = m' a
Agora, substituindo $ T_2 $ na segunda equação:
T2 - T1 = 12 M a
T1
T2 - m a = 12 M a
Portanto, a aceleração do sistema é:
T2 = m a + 12 M a = (m + 12 M) a

Exercícios relacionados