Uma bobina retangular é composta por (212) espiras de um condutor filamentar. Determine a indutância mútua entre esta bobina e um filamento retilíneo infinito no eixo z, se os quatro cantos da bobina estão situados em (3,0,0), (7,0,0),(7,0,3) e (3,0,3) cm.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma bobina retangular com 212 espiras de um fio fino. As quatro pontas da bobina estão nos pontos (3,0,0), (7,0,0), (7,0,3) e (3,0,3) centímetros. Precisamos descobrir a indutância mútua entre essa bobina e um fio reto infinito que está no eixo z.
Vamos usar conceitos de indução magnética, especificamente a indutância mútua, que mede como a variação da corrente em um condutor (o fio infinito) induz uma tensão em outro condutor (a bobina). Para isso, vamos precisar da fórmula da indutância mútua entre um fio infinito e uma bobina retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões da bobina. Olhando as coordenadas:
  • A bobina se estende de x = 3 cm a x = 7 cm, então tem um comprimento de 7 - 3 = 4 cm na direção x.
  • Na direção z, vai de z = 0 cm a z = 3 cm, então tem uma altura de 3 cm.
Também sabemos que a bobina tem N = 212 espiras.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da indutância mútua M entre um fio infinito e uma bobina retangular:
M = mu0 N2pi ln( b + raizb^2 + h^2a + raiza^2 + h^2 )
Onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 H/m),
  • N é o número de espiras,
  • a é a distância do fio à borda mais próxima da bobina,
  • b é a distância do fio à borda mais distante da bobina,
  • h é a altura da bobina.

Passo 4

Vamos identificar os valores para nosso problema:
  • a = 3 cm = 0,03 m,
  • b = 7 cm = 0,07 m,
  • h = 3 cm = 0,03 m.
Substituindo esses valores na fórmula:
M = 4pi times 10^-7 times 2122pi ln( 0,07 + raiz0,07^2 + 0,03^20,03 + raiz0,03^2 + 0,03^2 )

Passo 5

Simplificando os termos:
4pi times 10^-72pi = 2 times 10^-7
Então:
M = 2 times 10^-7 times 212 times ln( 0,07 + raiz0,0049 + 0,00090,03 + raiz0,0009 + 0,0009 )
Calculando as raízes:
raiz0,07^2 + 0,03^2 = raiz0,0049 + 0,0009 = raiz0,0058 approx 0,07616 m
raiz0,03^2 + 0,03^2 = raiz0,0009 + 0,0009 = raiz0,0018 approx 0,04243 m

Passo 6

Substituindo de volta:
M = 2 times 10^-7 times 212 times ln( 0,07 + 0,076160,03 + 0,04243 ) = 2 times 10^-7 times 212 times ln( 0,146160,07243 )
ln( 0,146160,07243 ) = ln(2,016) approx 0,700

Passo 7

Finalmente, calculamos M:
M = 2 times 10^-7 times 212 times 0,700 approx 2 times 212 = 424
424 times 0,700 approx 296,8
296,8 times 10^-7 = 2,968 times 10^-5 H = 29,68 muH

Resposta

A indutância mútua entre a bobina e o fio retilíneo infinito é aproximadamente 29,7 muH.

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