Calcule o momento de inércia de um fio retilíneo homogêneo de comprimento L, em torno de um eixo perpendicular ao fio e passando por uma das extremidades do fio, em função de sua massa M.
Resp. 13 M L^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o momento de inércia de um fio retilíneo homogêneo com comprimento $ L $ e massa $ M $. Esse momento de inércia é calculado em relação a um eixo que é perpendicular ao fio e passa por uma das suas extremidades. Para isso, vamos usar conceitos de momentos de inércia e integração, que ajudam a somar as contribuições de todas as partes do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Quanto mais longe a massa estiver do eixo, maior será o momento de inércia. A fórmula geral para o momento de inércia ($ I $) de um objeto contínuo é:
I
Aqui, $ r $ é a distância de cada elemento de massa ($ dm $) até o eixo de rotação.

Passo 3

Como nosso fio é homogêneo, a massa está distribuída de forma uniforme ao longo do comprimento. Então, a densidade linear de massa ($ \lambda $) é:
lambda
Isso significa que uma pequena parte do fio com comprimento $ dx $ tem massa $ dm = \lambda , dx = \frac{M}{L} , dx $.

Passo 4

Agora, queremos calcular o momento de inércia em relação a um eixo na extremidade do fio. Vamos considerar um pequeno elemento de comprimento $ dx $ a uma distância $ x $ do eixo. O momento de inércia desse elemento é:
dx

Passo 5

Para encontrar o momento de inércia total, integramos $ dI $ de $ x = 0 $ até $ x = L $:
dI

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral0^L x^2 , dx = [ x^33 ]0^L = L^33 - 0 = L^33

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para $ I $:
I

Resposta

I = 13 M L^2

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