Realize as seguintes tarefas:
(a) Calcule os autovalores e discuta sobre a multiplicidade algébrica e geométrica. Res: lambda1=6, lambda2=3, lambda3=3.
(b) Encontre os autovetores e depois discuta se é possível determinar um conjunto de vetores linearmente independentes que sejam ortogonais entre si.
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com a matriz simétrica
B=4&1&11&4&11&1&4
O conteúdo é valores e vetores próprios de matriz, bem como multiplicidade algébrica e geométrica e possibilidade de escolher autovetores ortogonais. Vamos precisar usar a propriedade de matrizes da forma aI+bJ, onde J é a matriz de uns, e o fato de matrizes reais simétricas serem diagonalizáveis ortogonalmente.
Passo 2
Para achar os autovalores, note que
B=4I+0&1&11&0&11&1&0=3I+J,
onde J é a matriz de todos uns. Sabemos que J tem auto
valor 3 (multiplicidade 1) com vetor próprio (1,1,1) e auto
valor 0 (multiplicidade 2) com soma dos componentes zero. Assim os autovalores de B são
lambda1=3+3=6, lambda2=3+0=3, lambda3=3+0=3
Passo 3
A multiplicidade algébrica de lambda1=6 é 1 e de lambda2=lambda3=3 é 2. Como B é simétrica real, a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica em cada valor próprio, ou seja, geométrica é 1 para 6 e 2 para 3.
Passo 4
Para obter os autovetores, resolvemos:
Para lambda=6: (B-6I)x=0 implica Jx=3x, isto é, todos os componentes iguais. Um vetor próprio é
v1=(1,1,1)
Para lambda=3: (B-3I)x=0 implica Jx=0, ou seja, soma dos componentes zero. Dois vetores independentes são, por exemplo,
v2=(1,-1,0), v3=(1,1,-2)
Eles satisfazem v2cdot v3=0 e v2cdot v1=0, v3cdot v1=0.
Passo 5
Como B é simétrica, podemos normalizar esses vetores e então temos um conjunto ortonormal de autovetores. Por exemplo,
1raiz3(1,1,1),;1raiz2(1,-1,0),;1raiz6(1,1,-2)
Concluímos assim todos os autovalores, autovetores, suas multiplicidades e a possibilidade de formar uma base ortonormal de ,R^3.
Resposta
lambda1=6 (mult alg=1, geom=1), lambda2=lambda3=3 (mult alg=2, geom=2). Autovetores: para 6, (1,1,1); para 3, (1,-1,0) e (1,1,-2). E sim: como B é simétrica real, existe uma base de autovetores ortonormais, por exemplo tfrac1raiz3(1,1,1),tfrac1raiz2(1,-1,0),tfrac1raiz6(1,1,-2).