Um fio C, com densidade de massa rho(x, y, z)=|x(y+1)|, tem a configuração da interseção das superfícies dadas pelas equações z=raizx^2+y^2 e y+raiz2 z=1. Calcule a massa de C.
Resp. 43 raiz2(3^12-1).

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos uma curva C dada pela interseção do cone z=raizx^2+y^2 com o plano y+raiz2,z=1. A massa da curva é dada pela integral de linha com densidade rho(x,y,z)=|x(y+1)|. Vamos usar projeção em xy para parametrizar C, calcular ds e montar a integral m=integralCrho,ds.

Passo 2

Parametrização via projeção no plano xy: Do plano temos z=(1-y)/raiz2. Substituindo no cone:
(1-y)^2/2=x^2+y^2
segue
2x^2+y^2+2y-1=0Longrightarrow x^2+(y+1)^22=1
Isso é uma elipse centrada em (0,-1). Uma parametrização conveniente é
x=cos t, y=-1+raiz2,sin t, tin[0,2pi]
Então
z=1-yraiz2=1-(-1+raiz2sin t)raiz2=raiz2-sin t

Passo 3

Cálculo de ds:
r'(t)=(-sin t,,raiz2cos t,,-cos t),
| r'(t)|=raizsin^2t+2cos^2t+cos^2t=raiz1+2cos^2t

Passo 4

Densidade ao longo da curva:
rho(t)=|x(y+1)|=|cos tcdot(raiz2sin t)|=raiz2,|sin tcos t|=raiz22|sin2t|

Passo 5

Integral da massa:
m=integral0^2pirho(t),| r'(t)|,dt=integral0^2piraiz22|sin2t|,raiz1+2cos^2t,dt
Explorando simetria e reduzindo a [0,pi/2] com fator 4:
m=2raiz2integral0^pi/2sin2t,raiz1+2cos^2t,dt
Use sin2t=2sin tcos t e mude u=cos t, du=-sin t,dt:
m=4raiz2integral0^1uraiz1+2u^2,du

Passo 6

Calcule a integral:
integral0^1uraiz1+2u^2,du=16l((1+2u^2)^3/2r)|0^1=16(3^3/2-1)
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m=4raiz2cdot16(3raiz3-1)=2raiz23(3raiz3-1)

Resposta

\frac{2\sqrt2}{3}\bigl(3\sqrt3-1\bigr)

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