Um fio
, com densidade de massa
, tem a configuração da interseção das superfícies dadas pelas equações
. Calcule a massa de
.
Resp.
.
Resp.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma curva C dada pela interseção do cone
com o plano
. A massa da curva é dada pela integral de linha com densidade
. Vamos usar projeção em
para parametrizar C, calcular
e montar a integral
.
Passo 2
Parametrização via projeção no plano
: Do plano temos
. Substituindo no cone:
segue
Isso é uma elipse centrada em
. Uma parametrização conveniente é
Então
Passo 3
Cálculo de
:
Passo 4
Densidade ao longo da curva:
Passo 5
Integral da massa:
Explorando simetria e reduzindo a
com fator 4:
Use
e mude
,
:
Passo 6
Calcule a integral:
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Resposta
\frac{2\sqrt2}{3}\bigl(3\sqrt3-1\bigr)