Calcule o momento em relação ao plano Oxy de uma semi-esfera de raio R, cuja densidade em cada ponto ( x, y, z ) é proporcional à sua distância ao centro da esfera. (Considere k como a constante de proporcionalidade.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o momento em relação ao plano Oxy de uma semi-esfera de raio R. As informações dadas são:
  • A semi-esfera tem raio R. (Vou assumir a semi-esfera superior, ou seja, a parte com z\ge 0; se a intenção fosse a inferior o resultado muda apenas pelo sinal.)
  • A densidade em cada ponto (x,y,z) é proporcional à distância do ponto ao centro da esfera, com constante de proporcionalidade k. Ou seja, a densidade vale \delta(x,y,z)=k\cdot (distância ao centro).
  • Deve-se calcular o momento em relação ao plano Oxy.
O que será calculado: o momento estático em relação ao plano Oxy, isto é o integral de (distância ao plano Oxy) vezes densidade, sobre todo o volume da semi-esfera.

Passo 2

Definição e formulação do momento em relação ao plano Oxy.
  • A distância de um ponto (x,y,z) ao plano Oxy é |z|. Para a semi-esfera superior temos z\ge 0, logo a distância é simplesmente z.
  • Denotando a densidade por \delta(x,y,z), o momento em relação ao plano Oxy é
M_{Oxy}=\iiint_{\text{semi-esfera}} z\,\delta(x,y,z)\,dV.
  • A densidade fornecida é proporcional à distância ao centro (origem). A distância ao centro é \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Portanto podemos escrever, com a notação
\delta(x,y,z)=k\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
  • Substituindo na definição:
M_{Oxy}=\iiint_{\text{semi-esfera}} z\;k\sqrt{x^2+y^2+z^2}\;dV.
Esta é a integral que vamos calcular.

Passo 3

Escolha de coordenadas e explicação.
  • É natural usar coordenadas esféricas porque a região de integração é a semi-esfera \{(x,y,z): x^2+y^2+z^2\le R^2,\\ z\ge0\}, que tem simetria radial.
  • Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \varrho, \varphi, \theta com as relações: x=\varrho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\varrho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\varrho\cos\varphi.Aqui \varrho é a distância do ponto ao centro (ou seja, a mesma quantidade que aparece na densidade), \varphi é o ângulo medido a partir do eixo z (vai de 0 a \pi), e \theta é o ângulo azimutal no plano xy (vai de 0 a 2\pi).
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV=\varrho^2\sin\varphi\,d\varrho\,d\varphi\,d\theta.(Explicação curta: o fator \varrho^2\sin\varphi é o Jacobiano da transformação; ele aparece porque pequenos volumes se transformam como produto dos comprimentos diferenciais nas três direções esféricas.)
  • Limites para a semi-esfera superior: \varrho varia de 0 a R, \varphi varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} (porque \varphi=0 aponta para +z e \varphi=\tfrac{\pi}{2} é o plano z=0), e \theta varia de 0 a 2\pi.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas esféricas e simplificar o integrando.
  • Substituímos z=\varrho\cos\varphi e \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\varrho e dV=\varrho^2\sin\varphi\,d\varrho\,d\varphi\,d\theta na expressão do momento:
M_{Oxy}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{R} \big( \varrho\cos\varphi \big)\; k\varrho\; \big(\varrho^2\sin\varphi\big)\; d\varrho\,d\varphi\,d\theta.
  • Juntando fatores de \varrho e constantes:
M_{Oxy}=k\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{R} \varrho^4\cos\varphi\sin\varphi\; d\varrho\,d\varphi\,d\theta.
Note que a integral separa em produto de três integrais simples (uma em \theta, uma em \varphi e uma em \varrho) porque o integrando é produto de uma função apenas de \varrho e outra apenas de \varphi.

Passo 5

Calcular as integrais uma a uma.
  • Integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\; d\varphi.
Explicação da técnica: usar a substituição u=\sin\varphi, então du=\cos\varphi\,d\varphi. Assim a integral vira
\int_{0}^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\; d\varphi = \int_{u(0)}^{u(\pi/2)} u\; du = \int_{0}^{1} u\; du = \left.\frac{u^2}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
  • Integral em \varrho:
\int_{0}^{R} \varrho^4\; d\varrho = \left.\frac{\varrho^5}{5}\right|_{0}^{R}=\frac{R^5}{5}.
  • Multiplicando os resultados e incluindo o fator k:
M_{Oxy}=k\cdot\big(2\pi\big)\cdot\left(\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{R^5}{5}\right).
Simplificando 2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi, obtemos
M_{Oxy}=\frac{k\pi R^5}{5}.

Passo 6

Interpretação rápida e verificação de consistência.
  • Dimensionalmente: se k tem unidades de massa por comprimento^2 (para que densidade \delta=k\varrho tenha massa/volume), então M_{Oxy} terá unidades de massa × comprimento (momento), e \frac{k\pi R^5}{5} tem essas unidades — faz sentido.
  • Também é razoável que o momento aumente fortemente com R: aqui cresce como R^5 devido à dependência radial da densidade e ao volume cúbico.

Resposta

\displaystyle M_{Oxy}=\frac{k\pi R^{5}}{5}

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