Calcule o momento em relação ao plano Oxy de uma semi-esfera de raio R, cuja densidade em cada ponto ( x, y, z ) é proporcional à sua distância ao centro da esfera. (Considere k como a constante de proporcionalidade.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o momento em relação ao plano Oxy de uma semi-esfera de raio R. As informações dadas são:
A semi-esfera tem raio R. (Vou assumir a semi-esfera superior, ou seja, a parte com z\ge 0; se a intenção fosse a inferior o resultado muda apenas pelo sinal.)
A densidade em cada ponto (x,y,z) é proporcional à distância do ponto ao centro da esfera, com constante de proporcionalidade k. Ou seja, a densidade vale \delta(x,y,z)=k\cdot (distância ao centro).
Deve-se calcular o momento em relação ao plano Oxy.
O que será calculado: o momento estático em relação ao plano Oxy, isto é o integral de (distância ao plano Oxy) vezes densidade, sobre todo o volume da semi-esfera.
Passo 2
Definição e formulação do momento em relação ao plano Oxy.
A distância de um ponto (x,y,z) ao plano Oxy é |z|. Para a semi-esfera superior temos z\ge 0, logo a distância é simplesmente z.
Denotando a densidade por \delta(x,y,z), o momento em relação ao plano Oxy é
A densidade fornecida é proporcional à distância ao centro (origem). A distância ao centro é \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Portanto podemos escrever, com a notação
É natural usar coordenadas esféricas porque a região de integração é a semi-esfera \{(x,y,z): x^2+y^2+z^2\le R^2,\\ z\ge0\}, que tem simetria radial.
Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \varrho, \varphi, \theta com as relações:x=\varrho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\varrho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\varrho\cos\varphi.Aqui \varrho é a distância do ponto ao centro (ou seja, a mesma quantidade que aparece na densidade), \varphi é o ângulo medido a partir do eixo z (vai de 0 a \pi), e \theta é o ângulo azimutal no plano xy (vai de 0 a 2\pi).
O elemento de volume em coordenadas esféricas édV=\varrho^2\sin\varphi\,d\varrho\,d\varphi\,d\theta.(Explicação curta: o fator \varrho^2\sin\varphi é o Jacobiano da transformação; ele aparece porque pequenos volumes se transformam como produto dos comprimentos diferenciais nas três direções esféricas.)
Limites para a semi-esfera superior: \varrho varia de 0 a R, \varphi varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} (porque \varphi=0 aponta para +z e \varphi=\tfrac{\pi}{2} é o plano z=0), e \theta varia de 0 a 2\pi.
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas esféricas e simplificar o integrando.
Substituímos z=\varrho\cos\varphi e \sqrt{x^2+y^2+z^2}=\varrho e dV=\varrho^2\sin\varphi\,d\varrho\,d\varphi\,d\theta na expressão do momento:
Note que a integral separa em produto de três integrais simples (uma em \theta, uma em \varphi e uma em \varrho) porque o integrando é produto de uma função apenas de \varrho e outra apenas de \varphi.
Interpretação rápida e verificação de consistência.
Dimensionalmente: se k tem unidades de massa por comprimento^2 (para que densidade \delta=k\varrho tenha massa/volume), então M_{Oxy} terá unidades de massa × comprimento (momento), e \frac{k\pi R^5}{5} tem essas unidades — faz sentido.
Também é razoável que o momento aumente fortemente com R: aqui cresce como R^5 devido à dependência radial da densidade e ao volume cúbico.