Calcule a integral
\iiint_{B} e^{x^{2}} d x d y d z
sendo B=\{(x, y, z) \mid 0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq 1,0 \leq z \leq 1\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} e^{x^{2}}\,dx\,dy\,dz
onde a região B é dada por
  • 0 \le y \le 1,
  • y \le x \le 1,
  • 0 \le z \le 1.
As perguntas implícitas são: escrever a integral iterada com limites corretos e calcular o valor numérico exato dessa integral.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é e^{x^{2}}, que depende apenas de x.
  • As desigualdades que definem B mostram que x e y estão relacionados por 0\le y\le x\le1.
  • O intervalo de z é independente e é [0,1].

Passo 2

Escrever a integral na ordem dada e observar que podemos trocar a ordem de integração por ser uma região simples e a função ser contínua.
Na ordem natural apresentada temos
\iiint_{B} e^{x^{2}}\,dx\,dy\,dz = \int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{x=y}^{1} e^{x^{2}}\,dx\,dy\,dz.
Como e^{x^{2}} não depende de y nem de z, é conveniente integrar primeiro em y (ou trocar a ordem para colocar a integração em y interna). Para isso descrevemos a projeção de B no plano xy: pelas desigualdades temos 0\le y\le x\le1, o que significa que para x fixo em [0,1] o y varia de 0 até x. Assim podemos reescrever a integral trocando a ordem entre x e y:
\iiint_{B} e^{x^{2}}\,dx\,dy\,dz = \int_{z=0}^{1}\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x} e^{x^{2}}\,dy\,dx\,dz.

Passo 3

Integrar em y (passo simples porque e^{x^{2}} é constante em relação a y).
Para x fixo,
\int_{y=0}^{x} e^{x^{2}}\,dy = e^{x^{2}}\int_{y=0}^{x}1\,dy = e^{x^{2}}\cdot (x-0) = x\,e^{x^{2}}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{z=0}^{1}\int_{x=0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx\,dz.

Passo 4

Integrar em x: usar substituição u=x^{2}.
Defina \;u = x^{2}\;. Então \;du = 2x\,dx\;, ou equivalentemente \;x\,dx = \tfrac{1}{2}\,du\;. Quando x varia de 0 a 1, u varia de 0 a 1. Assim
\int_{x=0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx = \int_{u=0}^{1} e^{u}\cdot \tfrac{1}{2}\,du = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \tfrac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr).

Passo 5

Integrar em z (última integração, trivial porque não aparece na expressão).
A integral em z é
\int_{z=0}^{1} dz = 1,
portanto o resultado total é o valor obtido em x multiplicado por 1, ou seja o valor final da integral tripla é
\tfrac{1}{2}\bigl(e-1\bigr).

Resposta

\dfrac{e-1}{2}

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