Calcule a integral
sendo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde a região
é dada por
-
, -
, -
.
As perguntas implícitas são: escrever a integral iterada com limites corretos e calcular o valor numérico exato dessa integral.
Informações relevantes fornecidas:
- A função a integrar é
, que depende apenas de . - As desigualdades que definem
mostram que e estão relacionados por . - O intervalo de
é independente e é .
Passo 2
Escrever a integral na ordem dada e observar que podemos trocar a ordem de integração por ser uma região simples e a função ser contínua.
Na ordem natural apresentada temos
Como
não depende de
nem de
, é conveniente integrar primeiro em
(ou trocar a ordem para colocar a integração em
interna). Para isso descrevemos a projeção de
no plano
: pelas desigualdades temos
, o que significa que para
fixo em
o
varia de
até
. Assim podemos reescrever a integral trocando a ordem entre
e
:
Passo 3
Integrar em
(passo simples porque
é constante em relação a
).
Para
fixo,
Portanto a integral reduz-se a
Passo 4
Integrar em
: usar substituição
.
Defina
. Então
, ou equivalentemente
. Quando
varia de
a
,
varia de
a
. Assim
Passo 5
Integrar em
(última integração, trivial porque não aparece na expressão).
A integral em
é
portanto o resultado total é o valor obtido em
multiplicado por
, ou seja o valor final da integral tripla é