Calcule a integral tripla de
no conjunto
e
.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla de
no conjunto
definido por
e
.
Informações relevantes dadas:
- A função integranda depende de
apenas através de ; ou seja, não depende de explicitamente. - As condições do conjunto
equivalem a: - para cada par
tal que , o valor de varia de até ; - o domínio projetado no plano
é a região elíptica .
- para cada par
- O que se pede: calcular
.
Passo 2
Escolha da ordem de integração e primeira redução:
- Como a função não depende de
e os limites em são dados em função de , é natural integrar primeiro em . - Escrevendo a integral com essa ordem:
- A integral interna em
é simples porque o integrando é constante em . Calculando:
- Assim a integral tripla reduz-se a uma integral dupla sobre
:
Passo 3
Mudança de variáveis para simplificar a elipse:
- A região
é a elipse . Para simplificar, fazemos uma transformação que transforma essa elipse em um disco: definimos uma “polar elíptica”
com
e
.
- Verificação rápida da transformação:
Ou seja, a condição
vira
, isto é
.
Passo 4
Cálculo do Jacobiano (fator de área) da mudança
:
- As derivadas parciais são:
- O determinante Jacobiano é
- Logo
Passo 5
Expressar a integral dupla em
e simplificar o integrando:
- Substituindo
e na integral dupla obtida no Passo 2, e lembrando que , obtemos
- Simplificando as potências de
:
- Assim a integral fica
Passo 6
Separar a integração em
e
e reduzir a uma integral unidimensional:
- A integral em
é imediata: . Portanto
- Agora usamos a primitivação de potências: para
,
Passo 7
Calcular a integral em
:
- Aplicando a fórmula:
- Avaliando em
(lembrar que e ):
Passo 8
Simplificar a expressão e obter o resultado final:
- Note que
, então
- Portanto o colchete fica
- Multiplicando pelo fator exterior
, obtemos
- Podemos racionalizar o denominador:
, logo