Calcule a integral tripla de
f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt[3]{4 y^{2}+3 z^{2}}}
no conjunto B: x \geq 4 y^{2}+3 z^{2} e x \leq 10.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla de
f(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt[3]{4y^{2}+3z^{2}}}
no conjunto B definido por x\ge 4y^{2}+3z^{2} e x\le 10.
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda depende de x,y,z apenas através de 4y^{2}+3z^{2}; ou seja, não depende de x explicitamente.
  • As condições do conjunto B equivalem a:
    • para cada par (y,z) tal que 4y^{2}+3z^{2}\le 10, o valor de x varia de x=4y^{2}+3z^{2} até x=10;
    • o domínio projetado no plano yz é a região elíptica D=\{(y,z)\mid 4y^{2}+3z^{2}\le 10\}.
  • O que se pede: calcular \displaystyle \iiint_{B} \frac{1}{\sqrt[3]{4y^{2}+3z^{2}}}\,dV.

Passo 2

Escolha da ordem de integração e primeira redução:
  • Como a função não depende de x e os limites em x são dados em função de y,z, é natural integrar primeiro em x.
  • Escrevendo a integral com essa ordem:
\iiint_{B}\frac{1}{\sqrt[3]{4y^{2}+3z^{2}}}\,dV = \iint_{D}\left(\int_{x=4y^{2}+3z^{2}}^{10}\frac{1}{\sqrt[3]{4y^{2}+3z^{2}}}\,dx\right)dy\,dz.
  • A integral interna em x é simples porque o integrando é constante em x. Calculando:
\int_{x=4y^{2}+3z^{2}}^{10}\frac{1}{\sqrt[3]{4y^{2}+3z^{2}}}\,dx = \frac{10-(4y^{2}+3z^{2})}{\sqrt[3]{4y^{2}+3z^{2}}}.
  • Assim a integral tripla reduz-se a uma integral dupla sobre D:
\iint_{D}\frac{10-(4y^{2}+3z^{2})}{\sqrt[3]{4y^{2}+3z^{2}}}\,dy\,dz.

Passo 3

Mudança de variáveis para simplificar a elipse:
  • A região D é a elipse 4y^{2}+3z^{2}\le 10. Para simplificar, fazemos uma transformação que transforma essa elipse em um disco: definimos uma “polar elíptica”
y=\frac{\rho}{2}\cos\theta,\qquad z=\frac{\rho}{\sqrt{3}}\sin\theta,
com \rho\ge 0 e \theta\in[0,2\pi).
  • Verificação rápida da transformação:
4y^{2}+3z^{2}=4\left(\frac{\rho}{2}\cos\theta\right)^{2}+3\left(\frac{\rho}{\sqrt{3}}\sin\theta\right)^{2} =\rho^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=\rho^{2}.
Ou seja, a condição 4y^{2}+3z^{2}\le 10 vira \rho^{2}\le 10, isto é 0\le\rho\le\sqrt{10}.

Passo 4

Cálculo do Jacobiano (fator de área) da mudança (\rho,\theta)\mapsto(y,z):
  • As derivadas parciais são:
\frac{\partial y}{\partial \rho}=\frac{1}{2}\cos\theta,\quad \frac{\partial y}{\partial \theta}=-\frac{\rho}{2}\sin\theta,
\frac{\partial z}{\partial \rho}=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta,\quad \frac{\partial z}{\partial \theta}=\frac{\rho}{\sqrt{3}}\cos\theta.
  • O determinante Jacobiano é
J=\frac{\partial(y,z)}{\partial(\rho,\theta)} =\frac{\rho}{2\sqrt{3}}\big(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\big) =\frac{\rho}{2\sqrt{3}}.
  • Logo
dy\,dz=\frac{\rho}{2\sqrt{3}}\,d\rho\,d\theta.

Passo 5

Expressar a integral dupla em (\rho,\theta) e simplificar o integrando:
  • Substituindo 4y^{2}+3z^{2}=\rho^{2} e dy\,dz=\dfrac{\rho}{2\sqrt{3}}\,d\rho\,d\theta na integral dupla obtida no Passo 2, e lembrando que \sqrt[3]{\rho^{2}}=\rho^{2/3}, obtemos
\iint_{D}\frac{10-(4y^{2}+3z^{2})}{\sqrt[3]{4y^{2}+3z^{2}}}\,dy\,dz = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{\sqrt{10}}\frac{10-\rho^{2}}{\rho^{2/3}}\cdot\frac{\rho}{2\sqrt{3}}\,d\rho\,d\theta.
  • Simplificando as potências de \rho:
\frac{10-\rho^{2}}{\rho^{2/3}}\cdot\rho=(10-\rho^{2})\rho^{1/3}.
  • Assim a integral fica
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{10}}\frac{(10-\rho^{2})\rho^{1/3}}{2\sqrt{3}}\,d\rho\,d\theta.

Passo 6

Separar a integração em \theta e \rho e reduzir a uma integral unidimensional:
  • A integral em \theta é imediata: \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi. Portanto
\iiint_{B}=\frac{2\pi}{2\sqrt{3}}\int_{0}^{\sqrt{10}}(10-\rho^{2})\rho^{1/3}\,d\rho = \frac{\pi}{\sqrt{3}}\int_{0}^{\sqrt{10}}\big(10\rho^{1/3}-\rho^{7/3}\big)\,d\rho.
  • Agora usamos a primitivação de potências: para \alpha\neq -1,
\int \rho^{\alpha}\,d\rho=\frac{\rho^{\alpha+1}}{\alpha+1}.

Passo 7

Calcular a integral em \rho:
  • Aplicando a fórmula:
\int_{0}^{\sqrt{10}}10\rho^{1/3}\,d\rho =10\cdot\frac{\rho^{4/3}}{4/3}\Big|_{0}^{\sqrt{10}} = \frac{30}{4}\rho^{4/3}\Big|_{0}^{\sqrt{10}} =\frac{15}{2}\,\rho^{4/3}\Big|_{0}^{\sqrt{10}},
\int_{0}^{\sqrt{10}}\rho^{7/3}\,d\rho =\frac{\rho^{10/3}}{10/3}\Big|_{0}^{\sqrt{10}} =\frac{3}{10}\,\rho^{10/3}\Big|_{0}^{\sqrt{10}}.
  • Avaliando em \rho=\sqrt{10} (lembrar que (\sqrt{10})^{4/3}=10^{2/3} e (\sqrt{10})^{10/3}=10^{5/3}):
\int_{0}^{\sqrt{10}}\big(10\rho^{1/3}-\rho^{7/3}\big)\,d\rho = \frac{15}{2}\,10^{2/3}-\frac{3}{10}\,10^{5/3}.

Passo 8

Simplificar a expressão e obter o resultado final:
  • Note que 10^{5/3}=10^{2/3}\cdot 10, então
\frac{3}{10}\,10^{5/3}=\frac{3}{10}\cdot 10\cdot 10^{2/3}=3\cdot 10^{2/3}.
  • Portanto o colchete fica
\frac{15}{2}\,10^{2/3}-3\cdot 10^{2/3} =\left(\frac{15}{2}-3\right)10^{2/3} =\frac{9}{2}\,10^{2/3}.
  • Multiplicando pelo fator exterior \dfrac{\pi}{\sqrt{3}}, obtemos
\iiint_{B}\frac{1}{\sqrt[3]{4y^{2}+3z^{2}}}\,dV =\frac{\pi}{\sqrt{3}}\cdot\frac{9}{2}\,10^{2/3} =\frac{9\pi}{2\sqrt{3}}\,10^{2/3}.
  • Podemos racionalizar o denominador: \dfrac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}, logo
\frac{9\pi}{2\sqrt{3}}\,10^{2/3}=\frac{3\pi\sqrt{3}}{2}\,10^{2/3}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi\sqrt{3}}{2}\,10^{2/3}

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