Calcule ou mostre que o limite não existe,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre limites em funções de várias variáveis e, pra resolver, vamos precisar entender como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
de diferentes maneiras.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos lidando:
. O denominador
representa a distância ao quadrado do ponto
até a origem
. Conforme
se aproxima de
, essa distância diminui, fazendo com que
se aproxime de zero.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece com a função
conforme
se aproxima de zero. Quando o denominador de uma fração se aproxima de zero, a fração tende a aumentar sem limite, ou seja, a função tende ao infinito.
Passo 4
Para confirmar se o limite existe ou não, podemos tentar nos aproximar de
por diferentes caminhos. Por exemplo, se fixarmos
, a função fica
, que tende ao infinito quando
. Se fixarmos
, a função fica
, que também tende ao infinito quando
. Isso sugere que, independentemente do caminho que escolhemos para nos aproximar de
, a função tende ao infinito.
Passo 5
Como a função tende a infinito por qualquer caminho que tomamos para nos aproximar de
, podemos concluir que o limite não existe de maneira finita. Em termos precisos, dizemos que o limite é infinito, mas tecnicamente, isso significa que o limite não existe no sentido tradicional.
Resposta
O limite não existe, já que a função tende ao infinito quando
.