Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F d S.
F(x, y, z)=x+tg ^1 y z i+y^2 z j+z k,
S é a parte do hemisfério x=raiz1-y^2-z^2 que está dentro do cilindro y^2+z^2=4, orientada na direção do x positivo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício envolvendo o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de superfície de rot F sobre a superfície S, onde F é um campo vetorial dado. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F sobre uma superfície S com a integral de linha de F ao longo da borda dessa superfície C. Ou seja:
integral duplaS rot F cdot dS = ointC F cdot dr
Isso significa que, em vez de calcular diretamente a integral de superfície, podemos calcular uma integral de linha ao redor da borda de S, o que geralmente é mais simples.

Passo 3

Vamos identificar a borda C da superfície S. A superfície S é a parte do hemisfério $ x = \sqrt{1 - y^{2} - z^{2}} $ que está dentro do cilindro $ y^{2} + z^{2} = 4 $ e orientada na direção positiva de x.
Para encontrar a curva de interseção (a borda C), igualamos as duas equações:
x = raiz1 - y^2 - z^2
Substituindo $ y^{2} + z^{2} = 4 $ na equação do hemisfério:
y^2 + z^2 = 4
Como isso não tem solução real, percebemos que a única interseção real ocorre quando $ y^{2} + z^{2} = 1 $ (o limite do hemisfério), então a curva C é o círculo $ y^{2} + z^{2} = 1 $ no plano $ x = 0 $.

Passo 4

Vamos parametrizar a curva C. Uma boa parametrização para um círculo no plano $ x = 0 $ com raio 1 é:
x = 0
Assim, os diferenciais são:
r(theta) = (0, costheta, sintheta), theta in [0, 2pi]

Passo 5

Agora, vamos expressar o campo vetorial F na curva C:
F(x, y, z) = (x + tan^-1(y z)) i + y^2 z, j + z, k
Substituindo $ x = 0 $, $ y = \cos\theta $ e $ z = \sin\theta $:
x = 0

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $:
F cdot dr
Simplificando:
F cdot dr = [ tan^-1(costheta sintheta) cdot 0 ] + [ cos^2theta sintheta cdot (-sintheta, dtheta) ] + [ sintheta cdot costheta, dtheta ]

Passo 7

Agora, vamos integrar $ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ de $ \theta = 0 $ a $ \theta = 2\pi $:
F cdot dr
Vamos resolver cada parte separadamente:
  1. Para $ -\cos^{2}\theta \sin^{2}\theta $:
    theta = 0
  2. Para $ \sin\theta \cos\theta $:
    theta = 2pi
Somando os dois resultados:
ointC F cdot dr = integral0^2pi ( -cos^2theta sin^2theta + sintheta costheta ) dtheta

Resposta

A integral de superfície vale -dfracpi4.

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