Use o Teorema de Stokes para calcular
.
,
é a parte do hemisfério
que está dentro do cilindro
, orientada na direção do
positivo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício envolvendo o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de superfície de rot F sobre a superfície S, onde F é um campo vetorial dado. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes para transformar essa integral de superfície em uma integral de linha mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F sobre uma superfície S com a integral de linha de F ao longo da borda dessa superfície C. Ou seja:
Isso significa que, em vez de calcular diretamente a integral de superfície, podemos calcular uma integral de linha ao redor da borda de S, o que geralmente é mais simples.
Passo 3
Vamos identificar a borda C da superfície S. A superfície S é a parte do hemisfério $ x = \sqrt{1 - y^{2} - z^{2}} $ que está dentro do cilindro $ y^{2} + z^{2} = 4 $ e orientada na direção positiva de x.
Para encontrar a curva de interseção (a borda C), igualamos as duas equações:
Substituindo $ y^{2} + z^{2} = 4 $ na equação do hemisfério:
Como isso não tem solução real, percebemos que a única interseção real ocorre quando $ y^{2} + z^{2} = 1 $ (o limite do hemisfério), então a curva C é o círculo $ y^{2} + z^{2} = 1 $ no plano $ x = 0 $.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva C. Uma boa parametrização para um círculo no plano $ x = 0 $ com raio 1 é:
Assim, os diferenciais são:
Passo 5
Agora, vamos expressar o campo vetorial F na curva C:
Substituindo $ x = 0 $, $ y = \cos\theta $ e $ z = \sin\theta $:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar $ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $ de $ \theta = 0 $ a $ \theta = 2\pi $:
Vamos resolver cada parte separadamente:
-
Para $ -\cos^{2}\theta \sin^{2}\theta $:
-
Para $ \sin\theta \cos\theta $:
Somando os dois resultados:
Resposta
A integral de superfície vale
.