Use o Teorema de Stokes para calcular
.
,
é a parte do paraboloide
que está à direita do plano
, orientada na direção do plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície de rot F sobre a superfície S. A função vetorial dada é:
E a superfície S é a parte do paraboloide $ y = 1 - x^{2} - z^{2} $ que está à direita do plano xz, orientada na direção desse plano.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo, além de saber calcular rotações (rot) de campos vetoriais e integrar ao longo de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície da rotação de um campo vetorial (rot F) sobre uma superfície S com a integral de linha de F ao longo da borda de S (a curva C). Matemáticamente, fica assim:
Então, ao invés de calcular diretamente a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao longo da borda C de S. Isso geralmente simplifica bastante a resolução.
Passo 3
Vamos identificar a curva C que delimita a superfície S. A superfície S é parte do paraboloide $ y = 1 - x^{2} - z^{2} $ onde está à direita do plano xz. A interseção desse paraboloide com o plano xz ocorre quando $ y = 0 $:
Então, a curva C é o círculo de raio 1 no plano xz, dado por $ x^{2} + z^{2} = 1 $ com $ y = 0 $.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar a curva C. Uma parametrização comum para um círculo de raio 1 no plano xz é:
Com isso, o vetor posição r em termos de $ \theta $ é:
E a diferencial $ d\mathbf{r} $ é:
Passo 5
Vamos calcular F ao longo da curva C. Substituindo $ y = 0 $ na função F:
Como $ x = \cos \theta $, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $:
Portanto, a integral de linha fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral $ \int_{0}^{2\pi} \cos^{4} \theta , d\theta $. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica para reduzir a potência:
Então,
Sabemos que:
Portanto,
Resposta
A integral de superfície $ \iint_{S} \operatorname{rot} \mathbf{F} , d\mathbf{S} $ é igual a $ \dfrac{3\pi}{4} $.