Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F d S.
F(x y, z)=y z^3 i+sen x y d j+x^3 k,
S é a parte do paraboloide y=1-x^2-z^2 que está à direita do plano x z, orientada na direção do plano x z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície de rot F sobre a superfície S. A função vetorial dada é:
F(x, y, z) = y z^3 i + sin(x y) j + x^3 k
E a superfície S é a parte do paraboloide $ y = 1 - x^{2} - z^{2} $ que está à direita do plano xz, orientada na direção desse plano.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo, além de saber calcular rotações (rot) de campos vetoriais e integrar ao longo de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de superfície da rotação de um campo vetorial (rot F) sobre uma superfície S com a integral de linha de F ao longo da borda de S (a curva C). Matemáticamente, fica assim:
integral duplaS rot F cdot dS = ointC F cdot dr
Então, ao invés de calcular diretamente a integral de superfície, podemos calcular a integral de linha ao longo da borda C de S. Isso geralmente simplifica bastante a resolução.

Passo 3

Vamos identificar a curva C que delimita a superfície S. A superfície S é parte do paraboloide $ y = 1 - x^{2} - z^{2} $ onde está à direita do plano xz. A interseção desse paraboloide com o plano xz ocorre quando $ y = 0 $:
y = 1 - x^2 - z^2
Então, a curva C é o círculo de raio 1 no plano xz, dado por $ x^{2} + z^{2} = 1 $ com $ y = 0 $.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar a curva C. Uma parametrização comum para um círculo de raio 1 no plano xz é:
x = cos theta z = sin theta y = 0 theta in [0, 2pi]
Com isso, o vetor posição r em termos de $ \theta $ é:
theta
E a diferencial $ d\mathbf{r} $ é:
r(theta) = cos theta , i + 0 , j + sin theta , k

Passo 5

Vamos calcular F ao longo da curva C. Substituindo $ y = 0 $ na função F:
y = 0
Como $ x = \cos \theta $, temos:
F(x, 0, z) = 0 cdot z^3 , i + sin(0 cdot x) , j + x^3 , k = 0 , i + 0 , j + x^3 , k

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $:
F cdot dr
Portanto, a integral de linha fica:
F cdot dr = cos^3 theta cdot cos theta , dtheta = cos^4 theta , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral $ \int_{0}^{2\pi} \cos^{4} \theta , d\theta $. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica para reduzir a potência:
integral0^2pi cos^4 theta , dtheta
Então,
cos^4 theta = 3 + 4 cos(2theta) + cos(4theta)8
Sabemos que:
integral0^2pi cos^4 theta , dtheta = 18 [ 3 integral0^2pi dtheta + 4 integral0^2pi cos(2theta) dtheta + integral0^2pi cos(4theta) dtheta ]
Portanto,
integral0^2pi cos(ntheta) dtheta = 0 para qualquer inteiro n neq 0

Resposta

A integral de superfície $ \iint_{S} \operatorname{rot} \mathbf{F} , d\mathbf{S} $ é igual a $ \dfrac{3\pi}{4} $.

Exercícios relacionados