Calcule ou mostre que não existe (justificando):
Passo 1
O enunciado pede para calcular ou mostrar que não existe o limite
Informações dadas e observações iniciais:
está bem definida apenas quando
(pois há divisão por
no expoente). O ponto de interesse é
, que não pertence ao domínio de
, então estamos tratando de um limite de função de duas variáveis em que nos aproximamos de
por pontos com
. A questão é: existe um número real
tal que, para todo caminho em que
com
,
? Se encontramos dois caminhos que dão limites diferentes (incluindo
), então o limite não existe.
Passo 2
Estratégia didática (sem fazer ainda): a forma mais direta para mostrar que o limite não existe é comparar o valor de
ao aproximar
por caminhos diferentes. Vou calcular o limite por um caminho com
e por outro caminho com
. Se esses limites diferirem, concluímos ausência de limite. Antes, um lembrete importante sobre exponenciais: a função exponencial cresce/decai muito mais rápido que qualquer potência; isto é, para constantes positivas
e para
,
para qualquer
. Isso será usado para comparar
com
.
Passo 3
Limite quando nos aproximamos com
(pela direita):
Fixemos uma vizinhança de . Como
, existe uma vizinhança tal que, para pontos suficientemente próximos,
. Então, para
pequeno e
nessa vizinhança,
Fixemos uma vizinhança de
Como a exponencial é crescente, obtemos
Multiplicando por
,
Agora mostro que o lado direito tende a
quando
. Faça a substituição
, assim
quando
. Então
Como
decai exponencialmente mais rápido que
decresce, tem-se
Pelo teorema do confronto (sanduíche), concluímos que, ao aproximar
por pontos com
,
Dica intuitiva: para
pequeno, o expoente
é grande e negativo, a exponencial tende a
muito rápido, vencendo o fator
.
Passo 4
Limite quando nos aproximamos com
(pela esquerda), escolhendo o caminho simples
:
Considere a sequência de pontos com
e
. Ao restringir
temos a função univariada
Considere a sequência de pontos
Escreva
com
e
. Então
Agora uso a comparação com potências: para
vale
. Tomando
(que tende a
quando
), obtemos para
suficientemente pequeno
Multiplicando por
,
Como
quando
, segue que
. Portanto
Isto significa que, ao aproximar
por pontos com
(mesmo mantendo
), a expressão
tende a
.
Passo 5
Conclusão pela comparação de caminhos:
Pelo Passo 3, aproximando por pontos com
obtemos o limite
. Pelo Passo 4, aproximando por pontos com
(por exemplo a reta
) obtemos limite
. Como os limites por esses dois caminhos são diferentes, o limite geral
Pelo Passo 3, aproximando
não existe (não existe nem como número real, nem como um único valor estendido).
Resposta
Não existe.