Calcule ou mostre que não existe (justificando):
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} x e^{-\frac{y}{x}}\,)

Passo 1

O enunciado pede para calcular ou mostrar que não existe o limite
\lim_{(x,y)\rightarrow(0,1)} x e^{-\frac{y}{x}}.
Informações dadas e observações iniciais:
f(x,y)=x e^{-\frac{y}{x}}
está bem definida apenas quando x\neq 0 (pois há divisão por x no expoente). O ponto de interesse é (0,1), que não pertence ao domínio de f, então estamos tratando de um limite de função de duas variáveis em que nos aproximamos de (0,1) por pontos com x\neq 0. A questão é: existe um número real L tal que, para todo caminho em que (x,y)\to(0,1) com x\neq0, f(x,y)\to L? Se encontramos dois caminhos que dão limites diferentes (incluindo \pm\infty), então o limite não existe.

Passo 2

Estratégia didática (sem fazer ainda): a forma mais direta para mostrar que o limite não existe é comparar o valor de f ao aproximar (0,1) por caminhos diferentes. Vou calcular o limite por um caminho com x>0 e por outro caminho com x<0. Se esses limites diferirem, concluímos ausência de limite. Antes, um lembrete importante sobre exponenciais: a função exponencial cresce/decai muito mais rápido que qualquer potência; isto é, para constantes positivas c e para t\to+\infty,
\frac{e^{ct}}{t^n}\to +\infty
para qualquer n. Isso será usado para comparar x com e^{-y/x}.

Passo 3

Limite quando nos aproximamos com x>0 (pela direita):
Fixemos uma vizinhança de (0,1). Como y\to1, existe uma vizinhança tal que, para pontos suficientemente próximos, y\ge \tfrac12. Então, para x>0 pequeno e y nessa vizinhança,
-\frac{y}{x}\le -\frac{1/2}{x} = -\frac{1}{2x}.
Como a exponencial é crescente, obtemos
e^{-\frac{y}{x}}\le e^{-\frac{1}{2x}}.
Multiplicando por x>0,
0\le x e^{-\frac{y}{x}} \le x e^{-\frac{1}{2x}}.
Agora mostro que o lado direito tende a 0 quando x\to 0^+. Faça a substituição s=\frac{1}{x}, assim s\to +\infty quando x\to 0^+. Então
x e^{-\frac{1}{2x}} = \frac{1}{s} e^{-\frac{1}{2} s}.
Como e^{-\frac{1}{2}s} decai exponencialmente mais rápido que \tfrac{1}{s} decresce, tem-se
\lim_{s\to+\infty} \frac{1}{s} e^{-\frac{1}{2}s} = 0.
Pelo teorema do confronto (sanduíche), concluímos que, ao aproximar (0,1) por pontos com x>0,
\lim_{(x,y)\to(0,1),\; x>0} x e^{-\frac{y}{x}} = 0.
Dica intuitiva: para x>0 pequeno, o expoente -y/x é grande e negativo, a exponencial tende a 0 muito rápido, vencendo o fator x.

Passo 4

Limite quando nos aproximamos com x<0 (pela esquerda), escolhendo o caminho simples y\equiv 1:
Considere a sequência de pontos (x,1) com x<0 e x\to 0. Ao restringir y=1 temos a função univariada
g(x)=x e^{-\frac{1}{x}}\quad\text{para }x<0.
Escreva x=-t com t>0 e t\to 0^+. Então
g(x)=(-t)\, e^{-\frac{1}{-t}} = -t e^{\frac{1}{t}}.
Agora uso a comparação com potências: para s\to+\infty vale e^{s} > s^2. Tomando s=\tfrac{1}{t} (que tende a +\infty quando t\to0^+), obtemos para t suficientemente pequeno
e^{\frac{1}{t}} > \left(\frac{1}{t}\right)^2 = \frac{1}{t^2}.
Multiplicando por t>0,
t e^{\frac{1}{t}} > t\cdot \frac{1}{t^2} = \frac{1}{t}.
Como \dfrac{1}{t}\to +\infty quando t\to0^+, segue que t e^{1/t}\to +\infty. Portanto
g(x) = -t e^{\frac{1}{t}} \to -\infty \quad\text{quando }x\to 0^-.
Isto significa que, ao aproximar (0,1) por pontos com x<0 (mesmo mantendo y=1), a expressão x e^{-y/x} tende a -\infty.

Passo 5

Conclusão pela comparação de caminhos:
Pelo Passo 3, aproximando (0,1) por pontos com x>0 obtemos o limite 0. Pelo Passo 4, aproximando por pontos com x<0 (por exemplo a reta y=1) obtemos limite -\infty. Como os limites por esses dois caminhos são diferentes, o limite geral
\lim_{(x,y)\rightarrow(0,1)} x e^{-\frac{y}{x}}
não existe (não existe nem como número real, nem como um único valor estendido).

Resposta

Não existe.

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