Calcule ou mostre que não existe (justificando):
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}-y^{2}}\,)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular (ou mostrar que não existe) o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}-y^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função a analisar é f(x,y)=\dfrac{x y^{2}}{x^{2}-y^{2}}. Note que o denominador x^{2}-y^{2} é zero quando x^{2}=y^{2}, ou seja, nas retas y=\pm x; portanto a função não está definida sobre essas retas (próximo da origem também devemos evitar esses pontos). O objetivo é verificar se, quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho no plano (exceto onde a função não está definida), o valor da razão converge a um mesmo número.

Passo 2

Método e ideia didática: para limites em duas variáveis, uma maneira prática de provar que o limite não existe é encontrar dois caminhos (duas curvas) de aproximação a (0,0) que produzam limites diferentes. Se existir pelo menos um par de caminhos com limites distintos, o limite total não existe. Também vamos usar a fatoração famosa
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y),
pois ela ajuda a entender a ordem (em potência de x ou y) do denominador quando escolhemos certas curvas. Uma heurística útil: o numerador tem grau aproximado 3 (pois é x y^{2}), então se conseguirmos um caminho em que o denominador também fique na ordem de x^{3} teremos uma chance de obter um limite finito não nulo; se o denominador for de ordem maior que x^{3} o quociente tende a 0, se for de ordem menor pode divergir.

Passo 3

Testando um caminho simples — o eixo y=0: substituindo y=0 obtemos
\frac{x\cdot 0^{2}}{x^{2}-0^{2}}=0.
Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) pelo eixo y=0 o valor da expressão é sempre 0 e, consequentemente,
\lim_{(x,0)\to(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}-y^{2}} = 0.
Isso nos dá um candidato de limite: 0. Mas ainda não prova nada: precisamos verificar outros caminhos.

Passo 4

Procurando um caminho que dê outro valor: com base na heurística do passo 2, tentamos uma curva em que x-y seja da ordem de x^{2}, por exemplo escolher
y = x - x^{2}.
Agora substituímos essa curva na expressão e calculamos explicitamente. O numerador fica
x\,y^{2}=x\,(x-x^{2})^{2}=x\bigl(x^{2}-2x^{3}+x^{4}\bigr)=x^{3}-2x^{4}+x^{5}.
O denominador fica
x^{2}-y^{2}=x^{2}-(x-x^{2})^{2}=x^{2}-\bigl(x^{2}-2x^{3}+x^{4}\bigr)=2x^{3}-x^{4}.
Assim a razão é
\frac{x y^{2}}{x^{2}-y^{2}} =\frac{x^{3}-2x^{4}+x^{5}}{2x^{3}-x^{4}} =\frac{x^{3}\bigl(1-2x+x^{2}\bigr)}{x^{3}\bigl(2-x\bigr)} =\frac{1-2x+x^{2}}{2-x}.
Agora tomamos o limite x\to 0 (lembrando que ir em (x,y)\to(0,0) pela curva y=x-x^{2} equivale a x\to 0):
\lim_{x\to 0}\frac{1-2x+x^{2}}{2-x}=\frac{1}{2}.
Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) pela curva y=x-x^{2} obtemos limite igual a \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Conclusão com comparação de caminhos: pelo eixo y=0 o limite foi 0 (Passo 3). pela curva y=x-x^{2} o limite foi \tfrac{1}{2} (Passo 4). Como são dois valores diferentes, não pode existir um único limite quando (x,y)\to(0,0) que sirva para todas as direções. Portanto o limite pedido não existe.

Resposta

Não existe o limite.

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