Calcule ou mostre que não existe (justificando):
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular (ou mostrar que não existe) o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função a analisar é
. Note que o denominador
é zero quando
, ou seja, nas retas
; portanto a função não está definida sobre essas retas (próximo da origem também devemos evitar esses pontos). O objetivo é verificar se, quando
se aproxima de
por qualquer caminho no plano (exceto onde a função não está definida), o valor da razão converge a um mesmo número.
Passo 2
Método e ideia didática: para limites em duas variáveis, uma maneira prática de provar que o limite não existe é encontrar dois caminhos (duas curvas) de aproximação a
que produzam limites diferentes. Se existir pelo menos um par de caminhos com limites distintos, o limite total não existe. Também vamos usar a fatoração famosa
pois ela ajuda a entender a ordem (em potência de
ou
) do denominador quando escolhemos certas curvas. Uma heurística útil: o numerador tem grau aproximado
(pois é
), então se conseguirmos um caminho em que o denominador também fique na ordem de
teremos uma chance de obter um limite finito não nulo; se o denominador for de ordem maior que
o quociente tende a
, se for de ordem menor pode divergir.
Passo 3
Testando um caminho simples — o eixo
: substituindo
obtemos
Portanto, ao aproximar
de
pelo eixo
o valor da expressão é sempre
e, consequentemente,
Isso nos dá um candidato de limite:
. Mas ainda não prova nada: precisamos verificar outros caminhos.
Passo 4
Procurando um caminho que dê outro valor: com base na heurística do passo 2, tentamos uma curva em que
seja da ordem de
, por exemplo escolher
Agora substituímos essa curva na expressão e calculamos explicitamente. O numerador fica
O denominador fica
Assim a razão é
Agora tomamos o limite
(lembrando que ir em
pela curva
equivale a
):
Portanto, ao aproximar
de
pela curva
obtemos limite igual a
.
Passo 5
Conclusão com comparação de caminhos: pelo eixo
o limite foi
(Passo 3). pela curva
o limite foi
(Passo 4). Como são dois valores diferentes, não pode existir um único limite quando
que sirva para todas as direções. Portanto o limite pedido não existe.
Resposta
Não existe o limite.