( 8 pontos)
(a) Calcule
, em que
.
(b) Para cada dos seguintes pontos do plano cartesiano, ou calcule a inclinação da curva definida pela equação de Parte (a) neste ponto, ou explique por que não faz sentido calcular a inclinação neste ponto.
i.
,
ii.
.
(a) Calcule
(b) Para cada dos seguintes pontos do plano cartesiano, ou calcule a inclinação da curva definida pela equação de Parte (a) neste ponto, ou explique por que não faz sentido calcular a inclinação neste ponto.
i.
ii.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar
para a curva dada implicitamente pela equação
; (b) para cada um dos pontos dados, ou calcular a inclinação da curva nesse ponto, ou explicar por que não faz sentido calcular a inclinação.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
(relação entre
e
), e os pontos a analisar são
e
.
A resolução seguirá diferenciando implicitamente a equação em relação a e resolvendo para
, depois avaliando ou verificando validade nos pontos dados.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A resolução seguirá diferenciando implicitamente a equação em relação a
Passo 2
Lembrete e justificativa importante (cadeia / chain rule): quando temos uma composição de funções
, a derivada em relação a
é dada por
Aqui cada símbolo significa:
é a derivada de
em relação ao seu argumento;
é a derivada de
em relação a
. Vamos aplicar isso ao lado esquerdo e ao lado direito da equação, lembrando que
é função de
(ou seja,
).
Passo 3
Derivando o lado esquerdo
em relação a
usando a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
; aqui
e
. Portanto
Expliquei: primeiro vejo
e derivo para
, depois multiplico pela derivada interna
.
Passo 4
Derivando o lado direito
em relação a
. Aqui há duas composições:
com
, e
depende de
. Primeiro, derivada de
é
. Para
temos
(novamente cadeia: derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos por
). Assim
Expliquei: o fator
aparece porque
varia com
.
Passo 5
Igualando as derivadas dos dois lados (porque as derivadas de expressões iguais são iguais), obtemos
Agora isolamos
. Dividindo ambos os lados por
(precisamos implicitamente garantir que esse denominador não seja zero quando for usar a fórmula), chega-se a
Podemos simplificar cancelando expoentes se necessário, mas a forma acima já é clara e útil para avaliar em pontos. Observação: a fórmula só faz sentido quando
. Se
o denominador é zero e a inclinação não é finita (ou a derivada pode não existir).
Passo 6
Agora verificamos o ponto (i):
.
Primeiro checar se o ponto está na curva original: . Então
Primeiro checar se o ponto está na curva original:
Como
, a igualdade
não é satisfeita nesse ponto. Portanto esse ponto NÃO pertence à curva definida pela equação, e por isso não faz sentido calcular a inclinação da curva nesse ponto (não existe curva passando por esse ponto dado o enunciado).
Passo 7
Agora verificamos o ponto (ii):
.
Calcule . Então
Calcule
Como os dois lados são iguais, o ponto pertence à curva. Agora usamos a fórmula encontrada em Passo 5:
Substituindo
e
, obtemos
Portanto a inclinação da curva nesse ponto é
.
Resposta
(a)
(b,i) O ponto não pertence à curva, logo não faz sentido calcular a inclinação nesse ponto.
(b,ii) Para a inclinação é
.
(b,i) O ponto
(b,ii) Para