( 8 pontos)
(a) Calcule \frac{d y}{d x}, em que \cos \left(e^{x}\right)=\operatorname{sen}\left(e^{y}\right).
(b) Para cada dos seguintes pontos do plano cartesiano, ou calcule a inclinação da curva definida pela equação de Parte (a) neste ponto, ou explique por que não faz sentido calcular a inclinação neste ponto.
i. (\ln (\pi), \ln (\pi)),
ii. (\ln (\pi / 4), \ln (\pi / 4)).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar \dfrac{dy}{dx} para a curva dada implicitamente pela equação \cos\left(e^{x}\right)=\sin\left(e^{y}\right); (b) para cada um dos pontos dados, ou calcular a inclinação da curva nesse ponto, ou explicar por que não faz sentido calcular a inclinação.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\cos\left(e^{x}\right)=\sin\left(e^{y}\right) (relação entre x e y), e os pontos a analisar são \left(\ln(\pi),\ln(\pi)\right) e \left(\ln\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right),\ln\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right).
A resolução seguirá diferenciando implicitamente a equação em relação a x e resolvendo para \dfrac{dy}{dx}, depois avaliando ou verificando validade nos pontos dados.

Passo 2

Lembrete e justificativa importante (cadeia / chain rule): quando temos uma composição de funções f(g(x)), a derivada em relação a x é dada por
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui cada símbolo significa: f' é a derivada de f em relação ao seu argumento; g'(x) é a derivada de g em relação a x. Vamos aplicar isso ao lado esquerdo e ao lado direito da equação, lembrando que y é função de x (ou seja, y=y(x)).

Passo 3

Derivando o lado esquerdo \cos\left(e^{x}\right) em relação a x usando a regra da cadeia: a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u); aqui u=e^{x} e u' = \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Portanto
\frac{d}{dx}\cos\left(e^{x}\right) = -\sin\left(e^{x}\right)\cdot e^{x}.
Expliquei: primeiro vejo \cos(\cdot) e derivo para -\sin(\cdot), depois multiplico pela derivada interna e^{x}.

Passo 4

Derivando o lado direito \sin\left(e^{y}\right) em relação a x. Aqui há duas composições: \sin(\cdot) com \cdot = e^{y}, e y depende de x. Primeiro, derivada de \sin(u) é \cos(u). Para u=e^{y} temos u'=\dfrac{d}{dx}e^{y}=e^{y}\cdot \dfrac{dy}{dx} (novamente cadeia: derivada de e^{y} em relação a y é e^{y}, e depois multiplicamos por dy/dx). Assim
\frac{d}{dx}\sin\left(e^{y}\right) = \cos\left(e^{y}\right)\cdot\left(e^{y}\cdot\frac{dy}{dx}\right)=e^{y}\cos\left(e^{y}\right)\frac{dy}{dx}.
Expliquei: o fator \dfrac{dy}{dx} aparece porque y varia com x.

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados (porque as derivadas de expressões iguais são iguais), obtemos
-\sin\left(e^{x}\right)\,e^{x} = e^{y}\cos\left(e^{y}\right)\frac{dy}{dx}.
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}. Dividindo ambos os lados por e^{y}\cos\left(e^{y}\right) (precisamos implicitamente garantir que esse denominador não seja zero quando for usar a fórmula), chega-se a
\frac{dy}{dx} = \frac{-e^{x}\sin\left(e^{x}\right)}{e^{y}\cos\left(e^{y}\right)}.
Podemos simplificar cancelando expoentes se necessário, mas a forma acima já é clara e útil para avaliar em pontos. Observação: a fórmula só faz sentido quando e^{y}\cos\left(e^{y}\right)\neq 0. Se \cos\left(e^{y}\right)=0 o denominador é zero e a inclinação não é finita (ou a derivada pode não existir).

Passo 6

Agora verificamos o ponto (i): \left(\ln(\pi),\ln(\pi)\right).
Primeiro checar se o ponto está na curva original: e^{\ln(\pi)}=\pi. Então
\cos\left(e^{x}\right)=\cos(\pi)=-1,\qquad \sin\left(e^{y}\right)=\sin(\pi)=0.
Como -1\neq 0, a igualdade \cos\left(e^{x}\right)=\sin\left(e^{y}\right) não é satisfeita nesse ponto. Portanto esse ponto NÃO pertence à curva definida pela equação, e por isso não faz sentido calcular a inclinação da curva nesse ponto (não existe curva passando por esse ponto dado o enunciado).

Passo 7

Agora verificamos o ponto (ii): \left(\ln\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right),\ln\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right).
Calcule e^{x}=e^{y}=\dfrac{\pi}{4}. Então
\cos\left(e^{x}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\left(e^{y}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Como os dois lados são iguais, o ponto pertence à curva. Agora usamos a fórmula encontrada em Passo 5:
\frac{dy}{dx} = \frac{-e^{x}\sin\left(e^{x}\right)}{e^{y}\cos\left(e^{y}\right)}.
Substituindo e^{x}=e^{y}=\dfrac{\pi}{4} e \sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{-\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}{\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)} = -1.
Portanto a inclinação da curva nesse ponto é -1.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{-e^{x}\sin\left(e^{x}\right)}{e^{y}\cos\left(e^{y}\right)}
(b,i) O ponto \left(\ln(\pi),\ln(\pi)\right) não pertence à curva, logo não faz sentido calcular a inclinação nesse ponto.
(b,ii) Para \left(\ln\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right),\ln\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) a inclinação é -1.

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