Calcule
e verifique em cada caso que este vetor é normal as curvas ou superfícies de nível.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função
e verificar que esse vetor gradiente é normal às curvas ou superfícies de nível dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e a normalidade em superfícies de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente, denotado por
, é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente da função
é:
Passo 3
Agora, vamos verificar que esse vetor gradiente
é normal às superfícies de nível da função
. Uma superfície de nível é definida por
, onde
é uma constante.
Para mostrar que
é normal a essa superfície, precisamos lembrar que o gradiente aponta na direção de maior crescimento da função e, por definição, é perpendicular (ou normal) à superfície de nível.
Matematicamente, se tivermos duas curvas na superfície de nível
, qualquer vetor tangente a essa superfície estará numa direção onde a variação de
é zero. Isto significa que o produto escalar entre o gradiente
e qualquer vetor tangente à superfície será zero, indicando perpendicularidade.
Resposta
O gradiente da função é
e esse vetor é normal às superfícies de nível de
.