Calcule nabla f e verifique em cada caso que este vetor é normal as curvas ou superfícies de nível.
© f(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 - xz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o gradiente da função e verificar que esse vetor gradiente é normal às curvas ou superfícies de nível dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e a normalidade em superfícies de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente, denotado por , é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente da função é:

Passo 3

Agora, vamos verificar que esse vetor gradiente é normal às superfícies de nível da função . Uma superfície de nível é definida por , onde é uma constante.
Para mostrar que é normal a essa superfície, precisamos lembrar que o gradiente aponta na direção de maior crescimento da função e, por definição, é perpendicular (ou normal) à superfície de nível.
Matematicamente, se tivermos duas curvas na superfície de nível , qualquer vetor tangente a essa superfície estará numa direção onde a variação de é zero. Isto significa que o produto escalar entre o gradiente e qualquer vetor tangente à superfície será zero, indicando perpendicularidade.

Resposta

O gradiente da função é e esse vetor é normal às superfícies de nível de .

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