1. Calcule a norma e a distância entre os vetores u=(1,2,2) e v=(2,0,1) em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a norma dos vetores u e v em \mathbb{R}^3 e depois a distância entre eles. O conteúdo envolve a definição de norma euclidiana (baseada no produto interno) e a distância entre dois vetores, que é simplesmente a norma da sua diferença.

Passo 2

A definição de norma euclidiana de um vetor w=(w_1,w_2,w_3) é
\|w\| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2}.
Aplicando isso em u=(1,2,2), temos
\|u\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.

Passo 3

Agora em v=(2,0,1), usamos a mesma fórmula:
\|v\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}.

Passo 4

A distância entre dois vetores u e v em \mathbb{R}^3 é dada por \|u - v\|. Primeiro calculamos
u - v = (1-2,\;2-0,\;2-1) = (-1,\,2,\,1).
Então
\|u - v\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}.

Resposta

\|u\| = 3 \|v\| = \sqrt{5} d(u,v) = \sqrt{6}

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