P10.43 Dois extensômetros a e b estão conectados a uma chapa feita de um material com módulo de elasticidade E=70 \mathrm{GPa} e coeficiente de Poisson v=0,35. Se os medidores derem uma leitura de \varepsilon_{\mathrm{a}}=450\left(10^{-6}\right) e \varepsilon_{\mathrm{b}}=100\left(10^{-6}\right), determine as intensidades da carga uniformemente distribuída w_{x} e w_{y}, que age sobre a chapa. A espessura da chapa é de 25 mm .
Passo 1
O enunciado pede que eu determine as intensidades das cargas uniformemente distribuídas w_{x} e w_{y} que atuam sobre uma chapa. As informações dadas são:
Módulo de elasticidade: E=70\\ \mathrm{GPa}.
Coeficiente de Poisson: v=0{,}35.
Leituras dos extensômetros (deformações): \varepsilon_{\mathrm{a}}=450\,(10^{-6}) e \varepsilon_{\mathrm{b}}=100\,(10^{-6}). Vou identificar \varepsilon_{\mathrm{a}} com \varepsilon_{x} e \varepsilon_{\mathrm{b}} com \varepsilon_{y}, isto é,\varepsilon_{x}=450\times10^{-6},\qquad \varepsilon_{y}=100\times10^{-6}.
Espessura da chapa: t=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
O objetivo final é obter w_{x} e w_{y}. Vou usar as relações elásticas para obter as tensões \sigma_{x} e \sigma_{y} a partir das deformações e então relacionar essas tensões às intensidades w_{x},w_{y} (explicarei essa relação nos passos seguintes).
Passo 2
Apresento a lei de Hooke para estado plano de tensões (plane stress), que relaciona tensões e deformações numa chapa fina isotrópica e elástica. As fórmulas são:
Agora convém relacionar essas tensões \sigma_{x} e \sigma_{y} com as intensidades w_{x} e w_{y}. A interpretação usual para uma chapa plana é que uma intensidade de carga distribuída aplicada nas bordas (força por unidade de comprimento) produz um resultado por unidade de comprimento N_{x} e N_{y} tal que
N_{x}=\sigma_{x}\,t,\qquad N_{y}=\sigma_{y}\,t,
onde t é a espessura da chapa. Se w_{x} e w_{y} representam essas intensidades (força por unidade de comprimento, unidades \mathrm{N/m}), então
w_{x}=\sigma_{x}\,t,\qquad w_{y}=\sigma_{y}\,t.
Explicando: \sigma_{x} tem unidade \mathrm{N/m^{2}}. Ao multiplicar pela espessura t (em \mathrm{m}) obtenho força por unidade de comprimento (\mathrm{N/m}), que é exatamente a intensidade distribuída ao longo de uma aresta que gera essa tensão média na seção.