P10.43 Dois extensômetros a e b estão conectados a uma chapa feita de um material com módulo de elasticidade E=70 \mathrm{GPa} e coeficiente de Poisson v=0,35. Se os medidores derem uma leitura de \varepsilon_{\mathrm{a}}=450\left(10^{-6}\right) e \varepsilon_{\mathrm{b}}=100\left(10^{-6}\right), determine as intensidades da carga uniformemente distribuída w_{x} e w_{y}, que age sobre a chapa. A espessura da chapa é de 25 mm .

Passo 1

O enunciado pede que eu determine as intensidades das cargas uniformemente distribuídas w_{x} e w_{y} que atuam sobre uma chapa. As informações dadas são:
  • Módulo de elasticidade: E=70\\ \mathrm{GPa}.
  • Coeficiente de Poisson: v=0{,}35.
  • Leituras dos extensômetros (deformações): \varepsilon_{\mathrm{a}}=450\,(10^{-6}) e \varepsilon_{\mathrm{b}}=100\,(10^{-6}). Vou identificar \varepsilon_{\mathrm{a}} com \varepsilon_{x} e \varepsilon_{\mathrm{b}} com \varepsilon_{y}, isto é, \varepsilon_{x}=450\times10^{-6},\qquad \varepsilon_{y}=100\times10^{-6}.
  • Espessura da chapa: t=25\\ \mathrm{mm}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
O objetivo final é obter w_{x} e w_{y}. Vou usar as relações elásticas para obter as tensões \sigma_{x} e \sigma_{y} a partir das deformações e então relacionar essas tensões às intensidades w_{x},w_{y} (explicarei essa relação nos passos seguintes).

Passo 2

Apresento a lei de Hooke para estado plano de tensões (plane stress), que relaciona tensões e deformações numa chapa fina isotrópica e elástica. As fórmulas são:
\varepsilon_{x}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{x}-v\,\sigma_{y}\bigr)
\varepsilon_{y}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{y}-v\,\sigma_{x}\bigr).
Explicando cada termo:
  • \varepsilon_{x},\varepsilon_{y} são as deformações (adimensionais) nas direções x e y.
  • \sigma_{x},\sigma_{y} são as tensões normais (em Pa) nas direções x e y.
  • E é o módulo de elasticidade (em Pa).
  • v é o coeficiente de Poisson (adimensional). O termo -v\,\sigma_{y} em \varepsilon_x representa a contração lateral devido à tensão \sigma_{y}.
Essas duas equações formam um sistema linear que permite encontrar \sigma_{x} e \sigma_{y} conhecendo E, v, \varepsilon_{x} e \varepsilon_{y}.

Passo 3

Multiplico ambas as equações por E para trabalhar com tensões diretamente:
E\,\varepsilon_{x}=\sigma_{x}-v\,\sigma_{y}\tag{1}
E\,\varepsilon_{y}=\sigma_{y}-v\,\sigma_{x}.\tag{2}
Agora vou isolar as tensões. Da equação (1) temos
\sigma_{x}=E\,\varepsilon_{x}+v\,\sigma_{y}.
Substituo essa expressão na equação (2):
E\,\varepsilon_{y}=\sigma_{y}-v\bigl(E\,\varepsilon_{x}+v\,\sigma_{y}\bigr).

Passo 4

Desenvolvendo a substituição e agrupando termos em \sigma_{y}:
E\,\varepsilon_{y}=\sigma_{y}-vE\,\varepsilon_{x}-v^{2}\sigma_{y}.
Reagrupando os termos com \sigma_{y}:
E\,\varepsilon_{y}+vE\,\varepsilon_{x}=(1-v^{2})\sigma_{y}.
Logo a expressão para \sigma_{y} é
\sigma_{y}=\frac{E\bigl(\varepsilon_{y}+v\,\varepsilon_{x}\bigr)}{1-v^{2}}.
De modo análogo (pela simetria das equações ou trocando x por y) obtemos
\sigma_{x}=\frac{E\bigl(\varepsilon_{x}+v\,\varepsilon_{y}\bigr)}{1-v^{2}}.
Essas fórmulas são úteis: elas dizem como recuperar tensões a partir das deformações no caso de estado plano de tensões.

Passo 5

Agora substituo os valores numéricos. Primeiro calculo 1-v^{2}:
1-v^{2}=1-(0{,}35)^{2}=1-0{,}1225=0{,}8775.
Calculo os numeradores:
\varepsilon_{x}+v\,\varepsilon_{y}=450\times10^{-6}+0{,}35\cdot(100\times10^{-6})=0{,}000450+0{,}000035=0{,}000485.
\varepsilon_{y}+v\,\varepsilon_{x}=100\times10^{-6}+0{,}35\cdot(450\times10^{-6})=0{,}000100+0{,}0001575=0{,}0002575.
Multiplico pelos valores de E (lembrando que E=70\\ \mathrm{GPa}=70\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}) e divido por 1-v^{2}:
\sigma_{x}=\frac{70\times10^{9}\cdot 0{,}000485}{0{,}8775}=\frac{33{,}95\times10^{6}}{0{,}8775}\approx 38{,}70\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
\sigma_{y}=\frac{70\times10^{9}\cdot 0{,}0002575}{0{,}8775}=\frac{18{,}025\times10^{6}}{0{,}8775}\approx 20{,}54\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Portanto, as tensões encontradas são aproximadamente
\sigma_{x}\approx 38{,}70\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{y}\approx 20{,}54\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Agora convém relacionar essas tensões \sigma_{x} e \sigma_{y} com as intensidades w_{x} e w_{y}. A interpretação usual para uma chapa plana é que uma intensidade de carga distribuída aplicada nas bordas (força por unidade de comprimento) produz um resultado por unidade de comprimento N_{x} e N_{y} tal que
N_{x}=\sigma_{x}\,t,\qquad N_{y}=\sigma_{y}\,t,
onde t é a espessura da chapa. Se w_{x} e w_{y} representam essas intensidades (força por unidade de comprimento, unidades \mathrm{N/m}), então
w_{x}=\sigma_{x}\,t,\qquad w_{y}=\sigma_{y}\,t.
Explicando: \sigma_{x} tem unidade \mathrm{N/m^{2}}. Ao multiplicar pela espessura t (em \mathrm{m}) obtenho força por unidade de comprimento ( \mathrm{N/m}), que é exatamente a intensidade distribuída ao longo de uma aresta que gera essa tensão média na seção.

Passo 7

Faço a conversão com t=0{,}025\\ \mathrm{m}:
w_{x}=\sigma_{x}\,t\approx 38{,}70\times10^{6}\cdot0{,}025\\ \mathrm{N/m}\approx 967{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}.
w_{y}=\sigma_{y}\,t\approx 20{,}54\times10^{6}\cdot0{,}025\\ \mathrm{N/m}\approx 513{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando de forma conveniente (e expressando em kN/m para legibilidade):
w_{x}\approx 967{,}6\\ \mathrm{kN/m},\qquad w_{y}\approx 513{,}5\\ \mathrm{kN/m}.

Resposta

w_{x}\approx 9{,}676\times10^{5}\\ \mathrm{N/m}
w_{y}\approx 5{,}135\times10^{5}\\ \mathrm{N/m}

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