(a) Calcule o número de elétrons livres por metro cúbico para a prata, supondo que existe 1,3 elétron livre por átomo de prata. A condutividade elétrica e a massa específica para a Ag são de 6,8 \times 10^{7}(\Omega \cdot \mathrm{~m})^{-1} e 10,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, respectivamente. (b) Então, calcule a mobilidade eletrônica para a Ag.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  • (a) Calcular o número de elétrons livres por metro cúbico para a prata, supondo que existem 1,3 elétron livre por átomo de prata.
  • (b) Calcular a mobilidade eletrônica da prata.
Dados fornecidos no enunciado (vou listar exatamente como foram dados):
\sigma = 6,8\times10^{7}\;(\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1}
\rho_{\text{massa}} = 10,5\;\mathrm{g/cm^{3}}
\text{elétrons por átomo} = 1,3éá
Dados físicos e constantes que vou usar (valores padrão):
N_{A} = 6,022\times10^{23}\;\mathrm{mol^{-1}}\quad(\text{constante de Avogadro})
e = 1,602\times10^{-19}\;\mathrm{C}\quad(\text{carga do elétron})é
M_{\text{Ag}} = 107,87\;\mathrm{g/mol}\quad(\text{massa molar da prata; valor padrão})ã
Não vou resolver nada ainda aqui — apenas organizei o que é pedido e os dados que teremos de usar.

Passo 2

Converter unidades para o SI e entender a estratégia:
  • A densidade dada \rho_{\text{massa}} = 10,5\;\mathrm{g/cm^{3}} preciso em \mathrm{kg/m^{3}}. 1\;\mathrm{g/cm^{3}} = 1000\;\mathrm{kg/m^{3}}portanto \rho_{\text{massa}} = 10,5\times1000 = 10500\;\mathrm{kg/m^{3}}.
  • A massa molar da prata M_{\text{Ag}} = 107,87\;\mathrm{g/mol} converto para \mathrm{kg/mol}: M_{\text{Ag}} = 0,10787\;\mathrm{kg/mol}.
Estratégia geral:
  1. Calcular o número de mols por \mathrm{m^{3}}: \dfrac{\rho_{\text{massa}}}{M_{\text{Ag}}}.
  2. Multiplicar por N_{A} para obter o número de átomos por \mathrm{m^{3}}.
  3. Multiplicar por 1,3 elétrons/átomo para obter n (número de elétrons livres por \mathrm{m^{3}}).
  4. Para a mobilidade usar a relação entre condutividade elétrica \sigma, densidade de elétrons n, carga e e mobilidade \mu: \sigma = n e \mu \quad\Rightarrow\quad \mu = \frac{\sigma}{n e}.

Passo 3

Calcular o número de mols por metro cúbico:
\text{mols por m}^{3}=\frac{\rho_{\text{massa}}}{M_{\text{Ag}}}=\frac{10500\;\mathrm{kg/m^{3}}}{0,10787\;\mathrm{kg/mol}}.
Agora executamos a divisão passo a passo (explico como pensar na prova sem calculadora):
  • Primeiro note que 0,10787 é aproximadamente 1,0787\times10^{-1}.
  • Dividir 10500 por 0,10787 é equivalente a multiplicar por cerca de 9,27.
    Fazendo a conta (arredondando razoavelmente para manter precisão adequada):
\frac{10500}{0,10787}\approx 9,7322\times10^{4}\;\mathrm{mol/m^{3}}.

Passo 4

Calcular o número de átomos por metro cúbico:
n_{\text{átomos}} = \left(\frac{\rho_{\text{massa}}}{M_{\text{Ag}}}\right)N_{A}.á
Substituindo os valores (usando o resultado do passo anterior):
n_{\text{átomos}} \approx 9,7322\times10^{4}\times6,022\times10^{23}.á
Multiplicando:
n_{\text{átomos}} \approx 5,86\times10^{28}\;\mathrm{m^{-3}}.á
Observação didática: aqui multiplicamos “mols por metro cúbico” por “átomos por mol” (Avogadro) para obter “átomos por metro cúbico”. É um procedimento direto e usual.

Passo 5

Calcular o número de elétrons livres por metro cúbico usando 1,3 elétron por átomo:
n = 1,3\times n_{\text{átomos}} = 1,3\times5,86\times10^{28}.á
Fazendo a multiplicação:
n \approx 7,62\times10^{28}\;\mathrm{m^{-3}}.
Interpretação: n é a densidade de portadores (elétrons livres) — quantos elétrons estão disponíveis por metro cúbico para conduzir corrente.

Passo 6

Agora vamos para a mobilidade eletrônica \mu. Relembrando a relação fundamental:
\sigma = n e \mu,
onde
  • \sigma é a condutividade elétrica em (\Omega\cdot\mathrm{m})^{-1},
  • n é a densidade de elétrons livres em \mathrm{m^{-3}},
  • e é a carga elementar em coulomb ( \mathrm{C}),
  • \mu é a mobilidade em \mathrm{m^{2}/(V\cdot s)}.
Isolando \mu:
\mu = \frac{\sigma}{n e}.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular \mu:
\mu = \frac{6,8\times10^{7}}{(7,62\times10^{28})(1,602\times10^{-19})}\;\mathrm{m^{2}/(V\cdot s)}.
Calculemos o denominador primeiro:
n e \approx 7,62\times10^{28}\times1,602\times10^{-19}\approx 1,222\times10^{10}\;\mathrm{(A\cdot s)/(m^{3})}
(lembrando que 1\;\mathrm{C/s}=1\;\mathrm{A}, mas aqui o importante é a unidade resultante para dividir por \sigma).
Agora a divisão:
\mu \approx \frac{6,8\times10^{7}}{1,222\times10^{10}}\approx 5,57\times10^{-3}\;\mathrm{m^{2}/(V\cdot s)}.

Passo 8

Dar o resultado em unidades mais familiares (opcional, mas útil na prova): muitos livros usam \mathrm{cm^{2}/(V\cdot s)}. A conversão é
1\;\mathrm{m^{2}/(V\cdot s)} = 10^{4}\;\mathrm{cm^{2}/(V\cdot s)}.
Portanto
\mu \approx 5,57\times10^{-3}\;\mathrm{m^{2}/(V\cdot s)} = 5,57\times10^{-3}\times10^{4}\;\mathrm{cm^{2}/(V\cdot s)} \approx 55,7\;\mathrm{cm^{2}/(V\cdot s)}.

Resposta

(a) n \approx 7,62\times10^{28}\;\mathrm{m^{-3}}
(b) \mu \approx 5,57\times10^{-3}\;\mathrm{m^{2}/(V\cdot s)} (ou \approx 55,7\;\mathrm{cm^{2}/(V\cdot s)})

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