Qual é a probabilidade de um elétron ser promovido para a banda de condução no antimoneto de índio, InSb , a 25^{\circ} \mathrm{C}?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a probabilidade de um elétron ser promovido para a banda de condução no antimoneto de índio, InSb, a 25^{\circ}\mathrm{C}?”\n
Informações dadas e assumidas:
\text{Temperatura } T = 25^{\circ}\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
\text{Largura de banda proibida (InSb, valor típico a }300\\ \mathrm{K}): E_{g}\approx 0{,}17\\ \mathrm{eV}.í
Constante de Boltzmann em unidades de elétron-volt por kelvin:
k_{B}=8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
Observação importante: o enunciado é um pouco ambíguo — “probabilidade de um elétron ser promovido” pode ser interpretada de duas maneiras físicas diferentes. Vou expor as duas interpretações possíveis, explicar a teoria por trás de cada uma e calcular ambas. Assim você entende qual vale para qual tipo de pergunta na prova.

Passo 2

Interpretação A (Boltzmann simples, mais direta): “Qual a probabilidade de um elétron obter energia térmica \ge E_{g} e, portanto, ser promovido para a banda de condução?”\n
  • Física por trás: na estatística de Boltzmann, a fração de partículas que possuem energia maior ou igual a uma energia E acima da referência costuma decrescer como \exp(-E/(k_{B}T)). Aqui a energia necessária é E_{g}. Portanto a probabilidade aproximada é
P_A \approx \exp\!\left(-\frac{E_{g}}{k_{B}T}\right).
  • Quando usar: é uma estimativa simples e bastante direta para “qual a chance de um elétron individual ganhar energia E_{g}” — útil para intuição e problemas básicos.

Passo 3

Interpretação B (ocupação de estados de condução via Fermi–Dirac, intrínseca): “Qual é a probabilidade de um estado na borda da banda de condução estar ocupado por um elétron?”\n
  • Física por trás: a ocupação de um estado de energia E é dada pela distribuição de Fermi–Dirac
f(E)=\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{E-E_{F}}{k_{B}T}\right)+1},
onde E_{F} é o nível de Fermi. Para um semicondutor intrínseco (sem dopagem), o nível de Fermi fica aproximadamente no meio da banda proibida, logo
E_{c}-E_{F}\approx\frac{E_{g}}{2},
sendo E_{c} a energia do fundo da banda de condução. Para energias E_{c}-E_{F}\gg k_{B}T (não degenerado) podemos aproximar
f(E_{c})\approx\exp\!\left(-\frac{E_{c}-E_{F}}{k_{B}T}\right)\approx\exp\!\left(-\frac{E_{g}}{2k_{B}T}\right).
  • Quando usar: se a pergunta quer a probabilidade de ocupação de um estado de condução (ou a fração de estados de condução ocupados), essa é a fórmula correta. É a interpretação mais comum em física de semicondutores.

Passo 4

Cálculo numérico da Interpretação A (Boltzmann, energia E_{g}) — explicando cada passo de conta:
k_{B}T = 8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}\times 298{,}15\\ \mathrm{K}.
Calculemos k_{B}T:
k_{B}T \approx 0{,}0257\\ \mathrm{eV}.
Agora a razão:
\frac{E_{g}}{k_{B}T}=\frac{0{,}17}{0{,}0257}\approx 6{,}62.
Aplicando a exponencial:
P_{A}\approx \exp(-6{,}62)\approx 1{,}34\times 10^{-3}.
Em porcentagem:
P_{A}\approx 0{,}134\%.
Interpretação física: segundo essa estimativa simples, cerca de 1 em 750 elétrons teria energia suficiente para atravessar diretamente a barreira E_{g} apenas por flutuação térmica.

Passo 5

Cálculo numérico da Interpretação B (Fermi–Dirac, nível de Fermi no meio do gap):
\frac{E_{g}}{2k_{B}T}=\frac{0{,}17}{2\times 0{,}0257}\approx 3{,}31.
Então
P_{B}\approx \exp(-3{,}31)\approx 3{,}66\times10^{-2}.
Em porcentagem:
P_{B}\approx 3{,}66\%.
Interpretação física: este valor é a probabilidade de um estado no fundo da banda de condução estar ocupado por um elétron, assumindo semicondutor intrínseco com nível de Fermi no meio do gap.

Passo 6

Comparação e comentário prático:
  • P_{A} (Boltzmann com E_{g}) dá uma probabilidade menor ( \sim 0{,}13\%). É a estimativa da probabilidade de um elétron ganhar a energia completa E_{g} por flutuação térmica.
  • P_{B} (Fermi–Dirac com E_{g}/2) dá uma probabilidade maior ( \sim 3{,}66\%). É a probabilidade de um estado de condução ser ocupado quando o Fermi está no meio do gap — mais usada em problemas de semicondutores ao tratar concentrações intrínsecas.
  • Qual usar na prova? Se o enunciado falar explicitamente “probabilidade de ocupar um estado da banda de condução” ou “probabilidade de um estado em E_{c} estar ocupado”, use P_{B}. Se perguntar de forma mais vaga “qual a probabilidade de um elétron ser promovido” e quiser uma estimativa por energia térmica, muitos autores aceitam P_{A}. Eu mostrei ambas para você escolher e também para não se confundir na prova.

Resposta

P_{A}\approx 1{,}34\times10^{-3}\approx 0{,}134\% \n
P_{B}\approx 3{,}66\times10^{-2}\approx 3{,}66\%

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