Qual é a probabilidade de um elétron ser promovido para a banda de condução no antimoneto de índio, InSb , a
?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual é a probabilidade de um elétron ser promovido para a banda de condução no antimoneto de índio, InSb, a
?”\n
Informações dadas e assumidas:
Informações dadas e assumidas:
Constante de Boltzmann em unidades de elétron-volt por kelvin:
Observação importante: o enunciado é um pouco ambíguo — “probabilidade de um elétron ser promovido” pode ser interpretada de duas maneiras físicas diferentes. Vou expor as duas interpretações possíveis, explicar a teoria por trás de cada uma e calcular ambas. Assim você entende qual vale para qual tipo de pergunta na prova.
Passo 2
Interpretação A (Boltzmann simples, mais direta): “Qual a probabilidade de um elétron obter energia térmica
e, portanto, ser promovido para a banda de condução?”\n
- Física por trás: na estatística de Boltzmann, a fração de partículas que possuem energia maior ou igual a uma energia
acima da referência costuma decrescer como . Aqui a energia necessária é . Portanto a probabilidade aproximada é
- Quando usar: é uma estimativa simples e bastante direta para “qual a chance de um elétron individual ganhar energia
” — útil para intuição e problemas básicos.
Passo 3
Interpretação B (ocupação de estados de condução via Fermi–Dirac, intrínseca): “Qual é a probabilidade de um estado na borda da banda de condução estar ocupado por um elétron?”\n
- Física por trás: a ocupação de um estado de energia
é dada pela distribuição de Fermi–Dirac
onde
é o nível de Fermi. Para um semicondutor intrínseco (sem dopagem), o nível de Fermi fica aproximadamente no meio da banda proibida, logo
sendo
a energia do fundo da banda de condução. Para energias
(não degenerado) podemos aproximar
- Quando usar: se a pergunta quer a probabilidade de ocupação de um estado de condução (ou a fração de estados de condução ocupados), essa é a fórmula correta. É a interpretação mais comum em física de semicondutores.
Passo 4
Cálculo numérico da Interpretação A (Boltzmann, energia
) — explicando cada passo de conta:
Calculemos
:
Agora a razão:
Aplicando a exponencial:
Em porcentagem:
Interpretação física: segundo essa estimativa simples, cerca de
em
elétrons teria energia suficiente para atravessar diretamente a barreira
apenas por flutuação térmica.
Passo 5
Cálculo numérico da Interpretação B (Fermi–Dirac, nível de Fermi no meio do gap):
Então
Em porcentagem:
Interpretação física: este valor é a probabilidade de um estado no fundo da banda de condução estar ocupado por um elétron, assumindo semicondutor intrínseco com nível de Fermi no meio do gap.
Passo 6
Comparação e comentário prático:
-
(Boltzmann com ) dá uma probabilidade menor ( ). É a estimativa da probabilidade de um elétron ganhar a energia completa por flutuação térmica. -
(Fermi–Dirac com ) dá uma probabilidade maior ( ). É a probabilidade de um estado de condução ser ocupado quando o Fermi está no meio do gap — mais usada em problemas de semicondutores ao tratar concentrações intrínsecas. - Qual usar na prova? Se o enunciado falar explicitamente “probabilidade de ocupar um estado da banda de condução” ou “probabilidade de um estado em
estar ocupado”, use . Se perguntar de forma mais vaga “qual a probabilidade de um elétron ser promovido” e quiser uma estimativa por energia térmica, muitos autores aceitam . Eu mostrei ambas para você escolher e também para não se confundir na prova.