Calcule
e observe que as potências começam a se repetir depois de
. Comprove este fato mostrando que
e aplique este resultado para calcular:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;
f)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado pede várias coisas relacionadas às potências de
(a unidade imaginária). Escrevo claramente o que é pedido e o que temos de informação:
- Calcular
e observar que as potências se repetem após . - Comprovar que
para inteiros e (com sendo o resto da divisão por ). - Aplicar esse resultado para calcular:
a);\n
b);\n
c);\n
d);\n
e);\n
f)
Tenho tudo que preciso no enunciado (não há figura nem tabela). A partir daqui vou explicar passo a passo a teoria necessária e resolver cada item.
Passo 2
Primeiro, lembrete básico:
é definido por
Vou calcular as potências pedidas usando essa definição, fazendo as contas explicitamente.
Calculemos:
Observe:
e
. Isso já mostra a repetição: depois de cada bloco de quatro potências, o padrão reinicia.
Passo 3
Agora eu comprove de forma geral a repetição afirmada:
.
Explicação do que uso: pelo algoritmo da divisão, dado qualquer inteiro não-negativo
existe inteiros
e
com
tais que
. Usando propriedades de potências e o resultado
, temos:
Como
, segue
logo
Isso prova a fórmula. Na prática isso significa que para calcular
basta reduzir
módulo
(ou seja, achar o resto
) e avaliar
usando os quatro valores básicos:
.
Passo 4
Aplicando o resultado para a letra (a).
Queremos
Reduzimos
módulo
:
então o resto
e pela fórmula
Passo 5
Letra (b):
Redução módulo
:
logo
e
Passo 6
Letra (c):
Redução módulo
:
então
e
Passo 7
Letra (d):
Aqui explico uma técnica muito útil: converter
para a forma polar (módulo e argumento) torna potências fáceis. Primeiro calcule o módulo e o argumento de
.
Módulo:
Argumento (ângulo)
: o complexo
está no 1º quadrante com
, portanto
.
Logo podemos escrever
Pelo teorema de De Moivre, para inteiros
Aplicando
:
Calcule as partes:
e
Sabendo que
e
, temos
Passo 8
Letra (e):
Primeiro simplifico a fração
. Multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar parte imaginária no denominador:
Calculo separados:
E
Logo
Portanto
Agora uso periodicidade: reduzo
módulo
:
Passo 9
Letra (f):
Estratégia didática simples: as potências de
formam ciclos de comprimento
:
A soma de um ciclo completo de quatro termos é
Agora, quantos termos tem a soma dada? Vai de
até
, ou seja, são
termos. Escrevo
em forma
:
Portanto existem
ciclos completos (cada um somando zero) e restam
termos adicionais:
e
. Assim
Usando a periodicidade (pois
e
),
Portanto
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b)
c)
d)
e)
f)