Calcule i^{2}, i^{3}, i^{4}, i^{5} e observe que as potências começam a se repetir depois de i^{4}. Comprove este fato mostrando que i^{4 n+r}=i^{r} e aplique este resultado para calcular:
a) i^{20};
b) i^{72};
c) i^{1041};
d) (1+i)^{12};
e) \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{10};
f) 1+i+i^{2}+\cdots+i^{2017}.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas relacionadas às potências de i (a unidade imaginária). Escrevo claramente o que é pedido e o que temos de informação:
  • Calcular \,i^{2},\;i^{3},\;i^{4},\;i^{5}\, e observar que as potências se repetem após \,i^{4}.
  • Comprovar que \,i^{4n+r}=i^{r}\, para inteiros n e r (com r sendo o resto da divisão por 4).
  • Aplicar esse resultado para calcular:
    a) \,i^{20};\n
    b) \,i^{72};\n
    c) \,i^{1041};\n
    d) \,(1+i)^{12};\n
    e) \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{10};\n
    f) \,1+i+i^{2}+\cdots+i^{2017}.
Tenho tudo que preciso no enunciado (não há figura nem tabela). A partir daqui vou explicar passo a passo a teoria necessária e resolver cada item.

Passo 2

Primeiro, lembrete básico: i é definido por \,i^{2}=-1. Vou calcular as potências pedidas usando essa definição, fazendo as contas explicitamente.
Calculemos:
i^{2} = -1.
i^{3} = i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -i.
i^{4} = i^{2}\cdot i^{2}=(-1)\cdot(-1)=1.
i^{5} = i^{4}\cdot i = 1\cdot i = i.
Observe: \,i^{4}=1 e \,i^{5}=i. Isso já mostra a repetição: depois de cada bloco de quatro potências, o padrão reinicia.

Passo 3

Agora eu comprove de forma geral a repetição afirmada: \,i^{4n+r}=i^{r}.
Explicação do que uso: pelo algoritmo da divisão, dado qualquer inteiro não-negativo m existe inteiros n e r com 0\le r\le 3 tais que m=4n+r. Usando propriedades de potências e o resultado \,i^{4}=1, temos:
i^{4n+r} = (i^{4})^{n}\cdot i^{r}.
Como \,i^{4}=1, segue
(i^{4})^{n}=1^{n}=1,
logo
i^{4n+r}=1\cdot i^{r}=i^{r}.
Isso prova a fórmula. Na prática isso significa que para calcular i^{m} basta reduzir m módulo 4 (ou seja, achar o resto r) e avaliar i^{r} usando os quatro valores básicos: i^{0}=1,\;i^{1}=i,\;i^{2}=-1,\;i^{3}=-i.

Passo 4

Aplicando o resultado para a letra (a).
Queremos \,i^{20}. Reduzimos 20 módulo 4:
20 = 4\cdot5 + 0,
então o resto r=0 e pela fórmula
i^{20}=i^{0}=1.

Passo 5

Letra (b): \,i^{72}.
Redução módulo 4:
72 = 4\cdot18 + 0,
logo r=0 e
i^{72}=i^{0}=1.

Passo 6

Letra (c): \,i^{1041}.
Redução módulo 4:
1041 = 4\cdot260 + 1,
então r=1 e
i^{1041}=i^{1}=i.

Passo 7

Letra (d): \,(1+i)^{12}.
Aqui explico uma técnica muito útil: converter 1+i para a forma polar (módulo e argumento) torna potências fáceis. Primeiro calcule o módulo e o argumento de 1+i.
Módulo:
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Argumento (ângulo) \theta: o complexo 1+i está no 1º quadrante com \tan\theta=\dfrac{1}{1}=1, portanto \theta=\dfrac{\pi}{4}.
Logo podemos escrever
1+i = \sqrt{2}\big(\cos\!\tfrac{\pi}{4}+i\sin\!\tfrac{\pi}{4}\big).
Pelo teorema de De Moivre, para inteiros k
(1+i)^{k}=(\sqrt{2})^{k}\big(\cos(k\tfrac{\pi}{4})+i\sin(k\tfrac{\pi}{4})\big).
Aplicando k=12:
(1+i)^{12}=(\sqrt{2})^{12}\big(\cos(12\tfrac{\pi}{4})+i\sin(12\tfrac{\pi}{4})\big).
Calcule as partes:
(\sqrt{2})^{12} = (2^{1/2})^{12}=2^{6}=64,
e
12\cdot \tfrac{\pi}{4}=3\pi.
Sabendo que \cos(3\pi)=\cos(\pi)=-1 e \sin(3\pi)=0, temos
(1+i)^{12}=64\big(\cos(3\pi)+i\sin(3\pi)\big)=64(-1+ i\cdot 0) = -64.

Passo 8

Letra (e): \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{10}.
Primeiro simplifico a fração \dfrac{1+i}{1-i}. Multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar parte imaginária no denominador:
\frac{1+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)}.
Calculo separados:
(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i.
E
(1-i)(1+i)=1-i^{2}=1-(-1)=2.
Logo
\frac{1+i}{1-i}=\frac{2i}{2}=i.
Portanto
\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{10}=i^{10}.
Agora uso periodicidade: reduzo 10 módulo 4:
10=4\cdot2+2 \Rightarrow i^{10}=i^{2}=-1.

Passo 9

Letra (f): \,S=1+i+i^{2}+\cdots+i^{2017}.
Estratégia didática simples: as potências de i formam ciclos de comprimento 4:
i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1,\\ \ldots
A soma de um ciclo completo de quatro termos é
i^{0}+i^{1}+i^{2}+i^{3}=1+i-1-i=0.
Agora, quantos termos tem a soma dada? Vai de i^{0} até i^{2017}, ou seja, são 2018 termos. Escrevo 2018 em forma 4q+r:
2018 = 4\cdot504 + 2.
Portanto existem 504 ciclos completos (cada um somando zero) e restam 2 termos adicionais: i^{2016} e i^{2017}. Assim
S = 504\cdot 0 + i^{2016}+i^{2017}.
Usando a periodicidade (pois 2016=4\cdot504 e 2017=4\cdot504+1),
i^{2016}=i^{0}=1,\qquad i^{2017}=i^{1}=i.
Portanto
S = 1 + i.

Resposta

a) 1
b) 1
c) i
d) -64
e) -1
f) 1+i