- Calcule
, onde
e
é a fronteira da superfície
dada por
,
, percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
é o contorno da superfície
percorrido no sentido anti-horário (visto de cima). Vamos usar o Teorema de Stokes, que transforma essa integral de linha numa integral de superfície do rotacional de
.
Passo 2
Calcular o rotacional de
. Escrevendo
com
,
,
, obtemos
Passo 3
Para aplicar Stokes, escolhemos como superfície
o trecho do paraboloide acima de
. O sentido anti-horário do contorno visto de cima corresponde à normal apontando para cima. Parametrizamos
pela projeção no plano
:
O vetor normal não unitário é
pois
,
e
é o elemento de área em
.
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes vale
Passo 5
Substituindo
e
,
Passo 6
Integramos sobre
: