1. Calcule \oint_{C} \vec{F} \cdot d r, onde \vec{F}(x, y, z)=(-y, x, 0) e C é a fronteira da superfície S dada por z=1-x^{2}-y^{2}, \operatorname{com} z \geq 0, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\oint_{C}\vec F\cdot d r \quad\text{para}\quad \vec F(x,y,z)=(-y,x,0),
onde C é o contorno da superfície
S:\;z=1-x^{2}-y^{2},\quad z\ge0,
percorrido no sentido anti-horário (visto de cima). Vamos usar o Teorema de Stokes, que transforma essa integral de linha numa integral de superfície do rotacional de \vec F.

Passo 2

Calcular o rotacional de \vec F. Escrevendo \vec F=(P,Q,R) com P=-y, Q=x, R=0, obtemos
\curl\vec F =\bigl(\partial_{y}R-\partial_{z}Q,\;\partial_{z}P-\partial_{x}R,\;\partial_{x}Q-\partial_{y}P\bigr) =(0-0,\;0-0,\;1-(-1)) =(0,0,2).

Passo 3

Para aplicar Stokes, escolhemos como superfície S o trecho do paraboloide acima de z=0. O sentido anti-horário do contorno visto de cima corresponde à normal apontando para cima. Parametrizamos S pela projeção no plano xy:
\Omega=\bigl\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\bigr\}.
O vetor normal não unitário é
\vec n\,dS =(-z_{x},-z_{y},1)\,dA =(2x,2y,1)\,dA,
pois z_{x}=-2x, z_{y}=-2y e dA é o elemento de área em xy.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes vale
\oint_{C}\vec F\cdot d r =\iint_{S}(\curl\vec F)\cdot\vec n\,dS.

Passo 5

Substituindo \curl\vec F=(0,0,2) e \vec n\,dS=(2x,2y,1)\,dA,
(\curl\vec F)\cdot\vec n\,dS =(0,0,2)\cdot(2x,2y,1)\,dA =2\,dA.

Passo 6

Integramos sobre \Omega:
\iint_{\Omega}2\,dA =2\iint_{\Omega}dA =2\cdot\pi\cdot1^{2} =2\pi.

Resposta

2\pi

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