- Seja o campo vetorial
. Calcule a integral
, onde
é a interseção da parte superior de uma esfera de raio 2 unidades, centrada na origem do espaço cartesiano, com um cilindro de raio 1 unidade, centrado no eixo
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha
onde
e
é a curva fechada dada pela interseção da hemisfério superior de raio 2 com o cilindro
. Vamos parametrizar
e calcular diretamente.
Passo 2
A interseção satisfaz simultaneamente
logo em
temos
Assim
é um círculo de raio 1 no plano horizontal
.
Passo 3
Uma parametrização natural é
Desse modo
Passo 4
Avaliamo-s
sobre
:
O produto escalar fica
Passo 5
A integral torna-se
Como
e
são funções de período
com média zero, cada integral sobre
é zero.
Passo 6
Portanto