1. Seja o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(y^{2}, x^{2},-z\right). Calcule a integral \int_{C} \vec{F} \cdot d r, onde C é a interseção da parte superior de uma esfera de raio 2 unidades, centrada na origem do espaço cartesiano, com um cilindro de raio 1 unidade, centrado no eixo z.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde \vec F(x,y,z)=(y^2,\,x^2,\,-z) e C é a curva fechada dada pela interseção da hemisfério superior de raio 2 com o cilindro x^2+y^2=1. Vamos parametrizar C e calcular diretamente.

Passo 2

A interseção satisfaz simultaneamente
x^2+y^2=1, \quad x^2+y^2+z^2=4,
logo em C temos
x^2+y^2=1, \quad z=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.
Assim C é um círculo de raio 1 no plano horizontal z=\sqrt{3}.

Passo 3

Uma parametrização natural é
\vec r(\theta)=\bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;\sqrt{3}\bigr), \quad 0\le\theta\le2\pi.
Desse modo
d\vec r=\vec r'(\theta)\,d\theta = \bigl(-\sin\theta,\;\cos\theta,\;0\bigr)\,d\theta.

Passo 4

Avaliamo-s \vec F sobre \vec r(\theta):
\vec F(\vec r(\theta)) = \bigl(\sin^2\theta,\;\cos^2\theta,\;-\sqrt{3}\bigr).
O produto escalar fica
\vec F\bigl(\vec r(\theta)\bigr)\cdot \vec r'(\theta) = \sin^2\theta\cdot(-\sin\theta) + \cos^2\theta\cdot\cos\theta = -\sin^3\theta+\cos^3\theta.

Passo 5

A integral torna-se
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r = \int_{0}^{2\pi}\bigl(-\sin^3\theta+\cos^3\theta\bigr)\,d\theta.
Como \sin^3\theta e \cos^3\theta são funções de período 2\pi com média zero, cada integral sobre [0,2\pi] é zero.

Passo 6

Portanto
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r=0.

Resposta

0

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