- Calcule o fluxo do campo
através da superfície do hemisfério superior da esfera
orientado para fora.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo de vetores
através da superfície do hemisfério superior da esfera
, orientado para fora. O conteúdo principal aqui é cálculo de fluxo de um campo através de superfície curva, usando coordenadas esféricas e a definição de elemento de área.
Passo 2
Parametrizamos o hemisfério superior por coordenadas esféricas com raio
onde
. Nesse caso, o vetor normal unitário exterior é
, porque em uma esfera de raio 1 o vetor posição coincide com o normal.
Passo 3
O fluxo é dado por
Aqui
em todo ponto da esfera de raio 1. O elemento de área é
com
, logo
.
Passo 4
Substituindo na integral,
Calculamos as duas integrais separadamente:
Portanto,
Resposta
O fluxo do campo
através do hemisfério superior da esfera
é
.