1. Calcule o fluxo do campo \vec{F}(x, y, z)=(x, y, z) através da superfície do hemisfério superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 orientado para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo de vetores \vec{F}(x,y,z)=(x,y,z) através da superfície do hemisfério superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, orientado para fora. O conteúdo principal aqui é cálculo de fluxo de um campo através de superfície curva, usando coordenadas esféricas e a definição de elemento de área.

Passo 2

Parametrizamos o hemisfério superior por coordenadas esféricas com raio 1\): \[\begin{cases} x=\sin\theta\cos\varphi,\\\ y=\sin\theta\sin\varphi,\\\ z=\cos\theta, \end{cases}
onde 0\le\theta\le\pi/2\] e \(0\le\varphi\le2\pi. Nesse caso, o vetor normal unitário exterior é \hat{n}=(x,y,z), porque em uma esfera de raio 1 o vetor posição coincide com o normal.

Passo 3

O fluxo é dado por
\Phi=\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS.
Aqui \vec{F}\cdot\hat{n}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 em todo ponto da esfera de raio 1. O elemento de área é
dS=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi
com R=1, logo dS=\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.

Passo 4

Substituindo na integral,
\Phi =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}1\cdot\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =\left(\int_{0}^{2\pi}d\varphi\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\right).
Calculamos as duas integrais separadamente:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi=2\pi, \quad \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta =\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} =1.
Portanto,
\Phi=2\pi\cdot1=2\pi.

Resposta

O fluxo do campo \vec{F}(x,y,z)=(x,y,z) através do hemisfério superior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 é 2\pi.

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