Calcule \oint_{C} 2 x y^{2} d x+3 x^{2} y d y, onde C é a fronteira da região R: x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0 (primeiro quadrante do círculo unitário), orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\oint_{C} 2 x y^{2}\,dx + 3 x^{2} y\,dy,
onde C é a fronteira da região R definida por x^{2}+y^{2}\leq 1, x\geq 0, y\geq 0 (ou seja, o primeiro quadrante do disco unitário), orientada no sentido anti-horário.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A forma diferencial tem P(x,y)=2 x y^{2} e Q(x,y)=3 x^{2} y.
  • A curva C é a fronteira de R (arco de círculo de raio 1 no primeiro quadrante mais os dois segmentos nos eixos), orientada anti-horário.
  • É pedido calcular a integral de linha \oint_{C} P\,dx + Q\,dy.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação do instrumento que será usado):
Vou transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região R usando o teorema que relaciona \oint_{C} P\,dx + Q\,dy com \iint_{R} (\partial Q/\partial x - \partial P/\partial y)\,dA. Aqui está a ideia do teorema (em palavras simples e com notação):
Se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma região que contém R e se C é a fronteira orientada positivamente (anti-horário), então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
O porquê de escolher esse método: a região R é simples (um quarto do disco) e a diferença \partial Q/\partial x - \partial P/\partial y costuma ficar mais simples do que parametrizar cada segmento da fronteira. Assim a conta fica mais curta e direta.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias:
  • Primeiro, escrevo P e Q explicitamente:
P(x,y)=2 x y^{2},\qquad Q(x,y)=3 x^{2} y.
  • Derivada parcial de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(3 x^{2} y\big) = 3\cdot 2 x\cdot y = 6 x y.
(Explicando: y é tratado como constante ao derivar em relação a x; a derivada de x^{2} é 2x.)
  • Derivada parcial de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(2 x y^{2}\big) = 2 x \cdot 2 y = 4 x y.
(Explicando: x é constante aqui; a derivada de y^{2} é 2y.)
  • Portanto a integranda do teorema é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 6 x y - 4 x y = 2 x y.

Passo 4

Montar a integral dupla sobre R:
Pelo teorema,
\oint_{C} 2 x y^{2}\,dx + 3 x^{2} y\,dy = \iint_{R} 2 x y \,dA.
Agora convém passar para coordenadas polares porque R é um quarto de disco. Lembrando as mudanças:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad dA = r\,dr\,d\theta.
Intervalos para (r,\theta) que cobrem R:
0 \le r \le 1,\qquad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}
(porque primeiro quadrante corresponde a \theta entre 0 e \pi/2, e o disco tem raio 1).

Passo 5

Substituir a integranda em polares e separar as integrais:
  • Substituindo x e y:
2 x y = 2 (r\cos\theta)(r\sin\theta) = 2 r^{2}\cos\theta\sin\theta.
  • Multiplicando pelo dA=r\,dr\,d\theta dá a integranda completa em polares:
2 x y\,dA = 2 r^{2}\cos\theta\sin\theta \cdot r\,dr\,d\theta = 2 r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
  • Assim a integral dupla fica
\iint_{R} 2 x y\,dA = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1} 2 r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Note que a parte em r e a parte em \theta multiplicam-se, então posso separar:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1} 2 r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{1} 2 r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right).

Passo 6

Calcular cada integral separadamente (passo a passo):
  • Integral radial:
\int_{0}^{1} 2 r^{3}\,dr = 2\cdot \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = 2\cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
(Expliquei: a primitiva de r^{3} é r^{4}/4.)
  • Integral angular (duas maneiras; uso identidade trig):
    Usar \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, assim \cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin 2\theta. Então
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin 2\theta\,d\theta.
Calculo da integral de \sin 2\theta:
\int \sin 2\theta\,d\theta = -\tfrac{1}{2}\cos 2\theta,
portanto
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin 2\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\bigg[-\tfrac{1}{2}\cos 2\theta\bigg]_{0}^{\pi/2} = -\tfrac{1}{4}\big(\cos \pi - \cos 0\big).
Como \cos \pi = -1 e \cos 0 = 1, temos
-\tfrac{1}{4}(-1-1) = -\tfrac{1}{4}(-2) = \tfrac{1}{2}.
Logo a integral angular também vale \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Multiplicar os resultados das integrais radial e angular:
\iint_{R} 2 x y\,dA = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}.
Portanto a integral de linha pedida é \dfrac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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