Calcule
, onde
é a fronteira da região
(primeiro quadrante do círculo unitário), orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde
é a fronteira da região
definida por
,
,
(ou seja, o primeiro quadrante do disco unitário), orientada no sentido anti-horário.
Informações dadas e o que é pedido:
- A forma diferencial tem
e . - A curva
é a fronteira de (arco de círculo de raio no primeiro quadrante mais os dois segmentos nos eixos), orientada anti-horário. - É pedido calcular a integral de linha
.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação do instrumento que será usado):
Vou transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região usando o teorema que relaciona
com
. Aqui está a ideia do teorema (em palavras simples e com notação):
Vou transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a região
Se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma região que contém
e se
é a fronteira orientada positivamente (anti-horário), então
O porquê de escolher esse método: a região
é simples (um quarto do disco) e a diferença
costuma ficar mais simples do que parametrizar cada segmento da fronteira. Assim a conta fica mais curta e direta.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias:
- Primeiro, escrevo
e explicitamente:
- Derivada parcial de
em relação a :
(Explicando:
é tratado como constante ao derivar em relação a
; a derivada de
é
.)
- Derivada parcial de
em relação a :
(Explicando:
é constante aqui; a derivada de
é
.)
- Portanto a integranda do teorema é
Passo 4
Montar a integral dupla sobre
:
Pelo teorema,
Pelo teorema,
Agora convém passar para coordenadas polares porque
é um quarto de disco. Lembrando as mudanças:
Intervalos para
que cobrem
:
(porque primeiro quadrante corresponde a
entre
e
, e o disco tem raio
).
Passo 5
Substituir a integranda em polares e separar as integrais:
- Substituindo
e :
- Multiplicando pelo
dá a integranda completa em polares:
- Assim a integral dupla fica
Note que a parte em
e a parte em
multiplicam-se, então posso separar:
Passo 6
Calcular cada integral separadamente (passo a passo):
- Integral radial:
(Expliquei: a primitiva de
é
.)
- Integral angular (duas maneiras; uso identidade trig):
Usar, assim . Então
Calculo da integral de
:
portanto
Como
e
, temos
Logo a integral angular também vale
.
Passo 7
Multiplicar os resultados das integrais radial e angular:
Portanto a integral de linha pedida é
.