Calcule a área da região D delimitada pelas curvas y=x^{2} e y=x usando o Teorema de Green com o campo \mathbf{F}(x, y)=(-y, x).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região D limitada pelas curvas y=x^{2} e y=x usando o Teorema de Green com o campo \mathbf{F}(x,y)=(-y,x).
Informações dadas e coisas úteis para começar:
  • As curvas são y=x^{2} (parábola) e y=x (reta).
  • As interseções das curvas vêm da equação
x^{2}=x,
cuja solução é x=0 e x=1. Portanto os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).
  • Para 0\le x\le 1 vale x^{2}\le x, então a região D é a “fita” entre a parábola (embaixo) e a reta (embaixo por baixo? — na região, a reta é a curva superior) para x entre 0 e 1.
  • O campo vetorial dado é \mathbf{F}(x,y)=(-y,x). Vou usar o Teorema de Green relacionando integral de linha ao integral dupla sobre D.

Passo 2

Lembrando o Teorema de Green (explicação didática):
  • Seja C a fronteira de uma região plana D, percorrida positivamente (no sentido anti-horário). Se \mathbf{F}=(L,M) tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{C} L\,dx + M\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) dA.
  • Interpretação simples: a integral de linha ao redor da borda é igual ao somatório (integral) da “rotacional” \frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y} sobre a área. É uma forma de transformar um problema de contorno em um problema de área — ou vice-versa.
No nosso caso, identificamos
L(x,y) = -y,\qquad M(x,y) = x.

Passo 3

Calcular a quantidade no interior da integral dupla (o “rotacional” no plano):
  • Primeiro calcule \dfrac{\partial M}{\partial x}:
\frac{\partial M}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1.
  • Depois calcule \dfrac{\partial L}{\partial y}:
\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-y)=-1.
  • Portanto
\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}=1-(-1)=2.
Isso significa que, pelo Teorema de Green,
\oint_{C} (-y)\,dx + x\,dy = \iint_{D} 2\,dA = 2\cdot \text{Área}(D).Á
Logo a área pode ser obtida como
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\oint_{C} (-y)\,dx + x\,dy.Á
Aqui C é a fronteira de D orientada positivamente (anti-horário).

Passo 4

Agora vamos calcular explicitamente a integral de linha \oint_{C} (-y)\,dx + x\,dy. A fronteira C tem duas partes:
  • C_{1}: a parábola y=x^{2} do ponto (0,0) até (1,1).
  • C_{2}: a reta y=x do ponto (1,1) de volta até (0,0).
A orientação global deve ser anti-horária. Um percurso anti-horário é: seguir C_{1} de (0,0) até (1,1) (parábola, “embaixo” para a direita) e depois seguir C_{2} de (1,1) de volta até (0,0) (reta, da direita para a esquerda). Vou parametrizar cada parte com cuidado.

Passo 5

Parametrização e integral sobre C_{1} (parábola):
  • Parametrização: tomar t\in[0,1] e
\mathbf{r}_{1}(t)=(t,\;t^{2}).
  • Então
dx = dt,\qquad dy = 2t\,dt.
  • Substituindo em (-y)\,dx + x\,dy:
(-y)\,dx + x\,dy = -(t^{2})\cdot dt + t\cdot(2t\,dt) = -t^{2}\,dt + 2t^{2}\,dt = t^{2}\,dt.
  • Integrando em t de 0 a 1:
\int_{C_{1}} (-y)\,dx + x\,dy = \int_{0}^{1} t^{2}\,dt = \left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
Expliquei passo a passo: substituí y=t^{2}, x=t, calculei dx,dy, simplifiquei a expressão e integrei um polinômio simples.

Passo 6

Parametrização e integral sobre C_{2} (reta y=x do (1,1) até (0,0)):
  • Parametrização natural: usar t variando de 1 até 0,
\mathbf{r}_{2}(t)=(t,\;t),\qquad t\in[1,0].
  • Então
dx = dt,\qquad dy = dt.
  • Substituindo:
(-y)\,dx + x\,dy = -t\cdot dt + t\cdot dt = 0.
  • Portanto a integral ao longo de C_{2} é
\int_{C_{2}} (-y)\,dx + x\,dy = \int_{1}^{0} 0\,dt = 0.
Observação intuitiva: ao percorrer a reta y=x a contribuição do termo (-y)\,dx cancela a de x\,dy, resultando em zero.

Passo 7

Somando as contribuições das duas partes da fronteira:
\oint_{C} (-y)\,dx + x\,dy = \int_{C_{1}} (\cdots) + \int_{C_{2}} (\cdots) = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}.
Pelo que encontramos em

Passo 8

2\cdot \text{Área}(D)=\frac{1}{3}.Á
Logo
\text{Área}(D)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.Á
Como verificação rápida (opcional, mas didático): calcular a área diretamente por integração vertical dá
\text{Área}(D)=\int_{0}^{1} \big(x - x^{2}\big)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6},Á
mesma resposta — bom sinal.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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