Calcule a área da região
delimitada pelas curvas
e
usando o Teorema de Green com o campo
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região
limitada pelas curvas
e
usando o Teorema de Green com o campo
.
Informações dadas e coisas úteis para começar:
- As curvas são
(parábola) e (reta). - As interseções das curvas vêm da equação
cuja solução é
e
. Portanto os pontos de interseção são
e
.
- Para
vale , então a região é a “fita” entre a parábola (embaixo) e a reta (embaixo por baixo? — na região, a reta é a curva superior) para entre e . - O campo vetorial dado é
. Vou usar o Teorema de Green relacionando integral de linha ao integral dupla sobre .
Passo 2
Lembrando o Teorema de Green (explicação didática):
- Seja
a fronteira de uma região plana , percorrida positivamente (no sentido anti-horário). Se tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de , então
- Interpretação simples: a integral de linha ao redor da borda é igual ao somatório (integral) da “rotacional”
sobre a área. É uma forma de transformar um problema de contorno em um problema de área — ou vice-versa.
No nosso caso, identificamos
Passo 3
Calcular a quantidade no interior da integral dupla (o “rotacional” no plano):
- Primeiro calcule
:
- Depois calcule
:
- Portanto
Isso significa que, pelo Teorema de Green,
Logo a área pode ser obtida como
Aqui
é a fronteira de
orientada positivamente (anti-horário).
Passo 4
Agora vamos calcular explicitamente a integral de linha
. A fronteira
tem duas partes:
-
: a parábola do ponto até . -
: a reta do ponto de volta até .
A orientação global deve ser anti-horária. Um percurso anti-horário é: seguir
de
até
(parábola, “embaixo” para a direita) e depois seguir
de
de volta até
(reta, da direita para a esquerda). Vou parametrizar cada parte com cuidado.
Passo 5
Parametrização e integral sobre
(parábola):
- Parametrização: tomar
e
- Então
- Substituindo em
:
- Integrando em
de a :
Expliquei passo a passo: substituí
,
, calculei
, simplifiquei a expressão e integrei um polinômio simples.
Passo 6
Parametrização e integral sobre
(reta
do
até
):
- Parametrização natural: usar
variando de até ,
- Então
- Substituindo:
- Portanto a integral ao longo de
é
Observação intuitiva: ao percorrer a reta
a contribuição do termo
cancela a de
, resultando em zero.
Passo 7
Somando as contribuições das duas partes da fronteira:
Pelo que encontramos em
Passo 8
Logo
Como verificação rápida (opcional, mas didático): calcular a área diretamente por integração vertical dá
mesma resposta — bom sinal.