onde C é a fronteira da região do primeiro quadrante situada entre os círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4, percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
\oint_{C} y^{2}\,dx + 3xy\,dy,
onde C é a fronteira da região R que consiste em todos os pontos do primeiro quadrante (x\ge0,\;y\ge0) tais que
1 \le x^{2}+y^{2} \le 4,
e C é percorrida no sentido anti-horário (sentido positivo). Informações importantes dadas:
O campo ao longo de C é definido por P(x,y)=y^{2} e Q(x,y)=3xy.
A região R é a parte do anel entre os círculos de raios 1 e 2, limitada ao primeiro quadrante — ou seja, um setor anular com \theta entre 0 e \tfrac{\pi}{2} e r entre 1 e 2.
O que se pede: calcular a integral de linha fechada indicada.
Passo 2
Escolha do método. Aqui é natural usar o Teorema de Green porque:
temos uma integral de linha fechada do tipo \oint_C P\,dx+Q\,dy;
a fronteira C é a fronteira de uma região plana R simples por partes;
P e Q têm derivadas parciais contínuas em R.
O Teorema de Green afirma que, para orientação positiva (anti-horário),
Descrição da região R e escolha do sistema de coordenadas. Como R é um setor anular no primeiro quadrante entre os círculos r=1 e r=2, é muito conveniente usar coordenadas polares:
Interpretação final e verificação rápida: aplicámos corretamente o Teorema de Green, trocamos por uma integral dupla simples em polares, e os cálculos diretos deram \tfrac{7}{3}. Portanto a integral de linha pedida é \tfrac{7}{3}. Boa! Isso evita parametrizar cada trecho de C separadamente (arcos e segmentos), que seria mais trabalhoso na prova.