Calcule
\oint_{C} y^{2} d x+3 x y d y,
onde C é a fronteira da região do primeiro quadrante situada entre os círculos x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4, percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\oint_{C} y^{2}\,dx + 3xy\,dy,
onde C é a fronteira da região R que consiste em todos os pontos do primeiro quadrante ( x\ge0,\;y\ge0) tais que
1 \le x^{2}+y^{2} \le 4,
e C é percorrida no sentido anti-horário (sentido positivo). Informações importantes dadas:
  • O campo ao longo de C é definido por P(x,y)=y^{2} e Q(x,y)=3xy.
  • A região R é a parte do anel entre os círculos de raios 1 e 2, limitada ao primeiro quadrante — ou seja, um setor anular com \theta entre 0 e \tfrac{\pi}{2} e r entre 1 e 2.
    O que se pede: calcular a integral de linha fechada indicada.

Passo 2

Escolha do método. Aqui é natural usar o Teorema de Green porque:
  • temos uma integral de linha fechada do tipo \oint_C P\,dx+Q\,dy;
  • a fronteira C é a fronteira de uma região plana R simples por partes;
  • P e Q têm derivadas parciais contínuas em R.
    O Teorema de Green afirma que, para orientação positiva (anti-horário),
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Vou aplicar essa fórmula para reduzir a integral de linha a uma integral dupla sobre R.

Passo 3

Identificar P e Q e calcular as derivadas parciais:
P(x,y)=y^{2},\qquad Q(x,y)=3xy.
Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
Portanto o integrando do teorema de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3y-2y=y.

Passo 4

Descrição da região R e escolha do sistema de coordenadas. Como R é um setor anular no primeiro quadrante entre os círculos r=1 e r=2, é muito conveniente usar coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta.
Os limites em polares são
1\le r\le 2,\qquad 0\le \theta\le \frac{\pi}{2}.
Também expressamos o integrando y em polares: y=r\sin\theta.

Passo 5

Montar a integral dupla e calcular passo a passo. Pelo Teorema de Green,
\oint_{C} y^{2}\,dx+3xy\,dy = \iint_{R} y\,dA.
Em coordenadas polares isso vira
\iint_{R} y\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{2} (r\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\int_{1}^{2} r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta.
Calcular integral em r:
\int_{1}^{2} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{3}-1^{3}}{3}=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}.
Logo a integral fica
\frac{7}{3}\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta.
Calcular a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \left.-\cos\theta\right|_{0}^{\pi/2} = -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0+1 = 1.
Multiplicando:
\iint_{R} y\,dA = \frac{7}{3}\cdot 1 = \frac{7}{3}.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: aplicámos corretamente o Teorema de Green, trocamos por uma integral dupla simples em polares, e os cálculos diretos deram \tfrac{7}{3}. Portanto a integral de linha pedida é \tfrac{7}{3}. Boa! Isso evita parametrizar cada trecho de C separadamente (arcos e segmentos), que seria mais trabalhoso na prova.

Resposta

\dfrac{7}{3}

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