1. (a) Encontre a solução u(x, y) da equação de Laplace na faixa semi-infinita 0<x<a, y>0, que satisfaz as condições de contorno
\begin{gathered} u(0, y)=0, \quad u(a, y)=0, \quad y>0 \\\ u(x, 0)=f(x), \quad 0 \geq x \geq a \end{gathered}
e a condição adicional de que u(x, y) \rightarrow 0 quando y \rightarrow \infty.
(b) Encontre a solução se f(x)=x(a-x).
(c) Seja a=5. Encontre o menor valor de y_{0} para o qual u(x, y) \leq 0,1 para todo y \geq y_{0}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Domínio: faixa semi-infinita \,0<x<a,\; y>0.
  • Equação: Laplace, isto é
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0\quad\text{em }0<x<a,\; y>0.
  • Condições de contorno:
    • \,u(0,y)=0 para \,y>0.
    • \,u(a,y)=0 para \,y>0.
    • \,u(x,0)=f(x) para \,0\le x\le a.
  • Condição adicional no infinito: \,u(x,y)\to 0 quando \,y\to\infty.
  • O enunciado pede:
    (a) encontrar a solução u(x,y) em termos de f;
    (b) aplicar ao caso f(x)=x(a-x);
    (c) com a=5, achar o menor y_0 tal que u(x,y)\le 0{,}1 para todo y\ge y_0.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem começar a calcular ainda).
  • A equação é linear e homogênea (Laplace) com condições homogêneas em x=0 e x=a. Isso sugere usar separação de variáveis em modos em x que satisfaçam as condições de contorno de Dirichlet nas extremidades.
  • Procedimento: procurar soluções do tipo \,u(x,y)=X(x)Y(y). Separando, obtemos um problema de autovalores em x com condições X(0)=X(a)=0. Esses autovalores são \lambda_n=(n\pi/a)^2 e autovetores \sin(n\pi x/a). Como queremos decaimento em y\to\infty, as componentes em y serão exponenciais decrescentes e^{-n\pi y/a}.
  • Assim a solução geral será soma (superposição) de termos do tipo \sin(n\pi x/a)\,e^{-n\pi y/a} com coeficientes determinados pela série de Fourier seno de f.

Passo 3

Desenvolvimento por separação de variáveis (achar a forma geral dos modos).
Procuramos u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo em \,X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0 e dividindo por X Y obtemos
\frac{X''(x)}{X(x)} = -\frac{Y''(y)}{Y(y)} = -\lambda,
onde \lambda é constante de separação. Então
X''+\lambda X=0,\qquad Y''-\lambda Y=0.
As condições X(0)=X(a)=0 exigem \lambda>0 e os autovalores e autofunções são
\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2,\qquad X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\quad n=1,2,\dots
Para cada n a equação de Y é Y''-\lambda_n Y=0 com solução linearmente combinando e^{\pm (n\pi/a) y}. A condição u\to0 quando y\to\infty obriga a tomar apenas a componente decrescente e^{-(n\pi/a) y}.
Portanto a solução geral (superposição linear) é
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right) e^{-(n\pi/a)\,y},
onde os A_n serão determinados por corresponderem a f(x) em y=0.

Passo 4

Determinação dos coeficientes [A_n) pela série de Fourier seno de f.
Impondo u(x,0)=f(x) para 0\le x\le a obtém-se a expansão em série de senos
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right).
Os coeficientes da série de Fourier seno são dados por (fórmula padrão; explico por que)
A_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx.
Breve lembrete didático: a família \{\sin(n\pi x/a)\}_{n\ge1} é ortogonal em [0,a] com peso 1, isto é
\int_0^a \sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx=\begin{cases}0,&m\ne n,\\[4pt]\dfrac{a}{2},&m=n.\end{cases}
Multiplicando a igualdade f(x)=\sum A_n\sin(\cdots)\] por \(\sin(n\pi x/a) e integrando, a ortogonalidade isola A_n dando a fórmula acima.
Portanto a solução final em termos de f é
\boxed{\,u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right) e^{-(n\pi/a)\,y}\, }.]

Passo 5

Aplicação ao caso (b): f(x)=x(a-x). Vamos calcular explicitamente os coeficientes
A_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} x(a-x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx.
Para facilitar, defina \,k=\dfrac{n\pi}{a}. Escrevemos x(a-x)=a x - x^2 e calculamos as integrais separadamente.
Calculei (mostrar desenvolvimento das integrais passo a passo):
  • \displaystyle \int_0^a x\sin(kx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(kx)}{k} + \frac{\sin(kx)}{k^2}\right]_0^a = -\frac{a\cos(ka)}{k} + \frac{\sin(ka)}{k^2}.
  • \displaystyle \int_0^a x^2\sin(kx)\,dx. Usando integração por partes duas vezes obtém-se
\int_0^a x^2\sin(kx)\,dx = -\frac{a^2\cos(ka)}{k} + \frac{2a\sin(ka)}{k^2} + \frac{2(\cos(ka)-1)}{k^3}.
Então juntando,
\begin{aligned} \int_0^a x(a-x)\sin(kx)\,dx &= a\!\int_0^a x\sin(kx)\,dx - \int_0^a x^2\sin(kx)\,dx\\[4pt] &= -\frac{a\sin(ka)}{k^2} - \frac{2\big(\cos(ka)-1\big)}{k^3}. \end{aligned}]

Passo 6

Simplificação usando k=\dfrac{n\pi}{a} e observação sobre \sin(ka), \cos(ka).
Como ka=n\pi, temos \sin(ka)=\sin(n\pi)=0 e \cos(ka)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Assim a integral simplifica para
\int_0^a x(a-x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx = -\frac{2\big((-1)^n-1\big)}{k^3}.
Logo
A_n=\frac{2}{a}\left(-\frac{2\big((-1)^n-1\big)}{k^3}\right) = -\frac{4}{a}\cdot\frac{(-1)^n-1}{k^3}.
Observe que (-1)^n-1=0 quando n é par e = -2 quando n é ímpar. Portanto A_n=0 para n par, e para n ímpar ( n=2m+1),
A_{2m+1} = -\frac{4}{a}\cdot\frac{-2}{k^3} = \frac{8}{a k^3}.
Substituindo k=(n\pi)/a e simplificando,
A_{2m+1} = \frac{8}{a}\cdot\frac{a^3}{(2m+1)^3\pi^3} = \frac{8a^2}{(2m+1)^3\pi^3}.

Passo 7

Escrevendo a solução u(x,y) para f(x)=x(a-x).
Somando somente os modos ímpares obtemos
\boxed{\,u(x,y)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{8a^2}{(2m+1)^3\pi^3}\;\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{a}\right)\;e^{-(2m+1)\pi y / a}\, }.
Isto responde o item (b). Observação didática: cada termo é um modo de frequência (2m+1)\pi/a que decai exponencialmente com y; os coeficientes decaem em 1/(2m+1)^3, garantindo convergência rápida.

Passo 8

Preparação para (c): estratégia para garantir u(x,y)\le 0{,}1 para todo x e todo y\ge y_0.
  • Para garantir a desigualdade para todo x é suficiente garantir uma desigualdade para o máximo em x de u(x,y). Uma desigualdade simples e segura é usar que |\sin(\cdot)|\le 1, portanto, para todo x,
u(x,y)\le \sum_{m=0}^{\infty} \frac{8a^2}{(2m+1)^3\pi^3}\;e^{-(2m+1)\pi y / a}.
(Os coeficientes são positivos, então não precisamos de valor absoluto). Assim basta tornar o lado direito menor ou igual a 0{,}1.
  • Para acelerar a soma, note que os coeficientes têm a forma A_{2m+1}=A_1/(2m+1)^3 onde
A_1=\frac{8a^2}{\pi^3}.
Logo a soma pode ser escrita como
S(y)=A_1\sum_{m=0}^{\infty}\frac{e^{-(2m+1)\pi y/a}}{(2m+1)^3} = A_1 e^{-\pi y/a}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{e^{-2m\pi y/a}}{(2m+1)^3}.
Uma estimativa superior conveniente é usar e^{-2m\pi y/a}\le 1 para todos m\ge0, obtendo
S(y)\le A_1 e^{-\pi y/a}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^3}.

Passo 9

Avaliação da soma de termos ímpares e constants numéricos com a=5.
  • A soma sobre inversos ímpares ao cubo é conhecida:
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^3}=\left(1-\frac{1}{2^3}\right)\zeta(3)=\frac{7}{8}\zeta(3),
onde \zeta(3) é a constante de Apéry \zeta(3)\approx 1{,}202056.
  • Portanto a constante multiplicativa é
S_0:=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^3}=\frac{7}{8}\zeta(3)\approx 1{,}0518.
  • Para a=5 temos
A_1=\frac{8a^2}{\pi^3}=\frac{8\cdot 25}{\pi^3}=\frac{200}{\pi^3}.
Numericamente \pi^3\approx 31{,}0063, então
A_1\approx \frac{200}{31{,}0063}\approx 6{,}4516.
A estimativa uniforme fica então
\max_{0\le x\le a} u(x,y)\le A_1\,S_0\,e^{-\pi y/a}.

Passo 10

Resolver a desigualdade para obter y_0.
Queremos A_1 S_0 e^{-\pi y/a}\le 0{,}1. Tomando logaritmo:
e^{-\pi y/a}\le \frac{0{,}1}{A_1 S_0} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{\pi y}{a} \le \ln\!\left(\frac{0{,}1}{A_1 S_0}\right).
Isolando y,
y \ge \frac{a}{\pi}\ln\!\left(\frac{A_1 S_0}{0{,}1}\right).
Agora substituímos números para a=5, A_1\approx 6{,}4516 e S_0\approx 1{,}0518:
A_1 S_0\approx 6{,}4516\times 1{,}0518\approx 6{,}785.
Então
y_0 \approx \frac{5}{\pi}\ln\!\left(\frac{6{,}785}{0{,}1}\right) = \frac{5}{\pi}\ln(67{,}85).
Calculando numericamente: \ln(67{,}85)\approx 4{,}216 e 5/\pi\approx 1{,}59155. Assim
y_0 \approx 1{,}59155\times 4{,}216 \approx 6{,}712.
Interpretação: este y_0 é um valor que garante, por estimativa uniforme (usando |\sin|\le1 e soma da série), que para todo x e todo y\ge y_0 vale u(x,y)\le 0{,}1. A estimativa é segura (pode ser ligeiramente conservadora), mas fornece o menor y_0 obtido por esse argumento explícito.

Resposta

(a) \displaystyle u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)e^{-(n\pi/a)\,y}.\newline
(b) \displaystyle u(x,y)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8a^2}{(2m+1)^3\pi^3}\,\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{a}\right)\,e^{-(2m+1)\pi y/a}.\newline
(c) Para a=5 um valor que garante u(x,y)\le 0{,}1 para todo y\ge y_0 é aproximadamente \displaystyle y_0\approx 6{,}712.

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