(a) Encontre a solução u(x, y) da equação de Laplace na faixa semi-infinita 0<x<a, y>0, que satisfaz as condições de contorno
\begin{gathered} u(0, y)=0, \quad u(a, y)=0, \quad y>0 \\\ u(x, 0)=f(x), \quad 0 \geq x \geq a \end{gathered}
e a condição adicional de que u(x, y) \rightarrow 0 quando y \rightarrow \infty.
(b) Encontre a solução se f(x)=x(a-x).
(c) Seja a=5. Encontre o menor valor de y_{0} para o qual u(x, y) \leq 0,1 para todo y \geq y_{0}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
Domínio: faixa semi-infinita \,0<x<a,\; y>0.
Equação: Laplace, isto é
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0\quad\text{em }0<x<a,\; y>0.
Condições de contorno:
\,u(0,y)=0 para \,y>0.
\,u(a,y)=0 para \,y>0.
\,u(x,0)=f(x) para \,0\le x\le a.
Condição adicional no infinito: \,u(x,y)\to 0 quando \,y\to\infty.
O enunciado pede:
(a) encontrar a solução u(x,y) em termos de f;
(b) aplicar ao caso f(x)=x(a-x);
(c) com a=5, achar o menor y_0 tal que u(x,y)\le 0{,}1 para todo y\ge y_0.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem começar a calcular ainda).
A equação é linear e homogênea (Laplace) com condições homogêneas em x=0 e x=a. Isso sugere usar separação de variáveis em modos em x que satisfaçam as condições de contorno de Dirichlet nas extremidades.
Procedimento: procurar soluções do tipo \,u(x,y)=X(x)Y(y). Separando, obtemos um problema de autovalores em x com condições X(0)=X(a)=0. Esses autovalores são \lambda_n=(n\pi/a)^2 e autovetores \sin(n\pi x/a). Como queremos decaimento em y\to\infty, as componentes em y serão exponenciais decrescentes e^{-n\pi y/a}.
Assim a solução geral será soma (superposição) de termos do tipo \sin(n\pi x/a)\,e^{-n\pi y/a} com coeficientes determinados pela série de Fourier seno de f.
Passo 3
Desenvolvimento por separação de variáveis (achar a forma geral dos modos).
Procuramos u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo em \,X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0 e dividindo por X Y obtemos
Para cada n a equação de Y é Y''-\lambda_n Y=0 com solução linearmente combinando e^{\pm (n\pi/a) y}. A condição u\to0 quando y\to\infty obriga a tomar apenas a componente decrescente e^{-(n\pi/a) y}.
\boxed{\,u(x,y)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{8a^2}{(2m+1)^3\pi^3}\;\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{a}\right)\;e^{-(2m+1)\pi y / a}\, }.
Isto responde o item (b). Observação didática: cada termo é um modo de frequência (2m+1)\pi/a que decai exponencialmente com y; os coeficientes decaem em 1/(2m+1)^3, garantindo convergência rápida.
Passo 8
Preparação para (c): estratégia para garantir u(x,y)\le 0{,}1 para todo x e todo y\ge y_0.
Para garantir a desigualdade para todo x é suficiente garantir uma desigualdade para o máximo em x de u(x,y). Uma desigualdade simples e segura é usar que |\sin(\cdot)|\le 1, portanto, para todo x,
u(x,y)\le \sum_{m=0}^{\infty} \frac{8a^2}{(2m+1)^3\pi^3}\;e^{-(2m+1)\pi y / a}.
(Os coeficientes são positivos, então não precisamos de valor absoluto). Assim basta tornar o lado direito menor ou igual a 0{,}1.
Para acelerar a soma, note que os coeficientes têm a forma A_{2m+1}=A_1/(2m+1)^3 onde
Interpretação: este y_0 é um valor que garante, por estimativa uniforme (usando |\sin|\le1 e soma da série), que para todo x e todo y\ge y_0 vale u(x,y)\le 0{,}1. A estimativa é segura (pode ser ligeiramente conservadora), mas fornece o menor y_0 obtido por esse argumento explícito.
Resposta
(a) \displaystyle u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{a}\right)\,ds\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)e^{-(n\pi/a)\,y}.\newline
(b) \displaystyle u(x,y)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8a^2}{(2m+1)^3\pi^3}\,\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{a}\right)\,e^{-(2m+1)\pi y/a}.\newline
(c) Para a=5 um valor que garante u(x,y)\le 0{,}1 para todo y\ge y_0 é aproximadamente \displaystyle y_0\approx 6{,}712.