Encontrar
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
- O enunciado pede: encontrar
- Resumo das informações úteis:
- Para .
- Para
, .
- Note que há uma possível questão extra no ponto
: é preciso verificar se é diferenciável em . Portanto teremos que calcular a derivada para , para e também examinar o comportamento em .]
Passo 2
Derivada para
: regra básica de derivação de polinômios/retas.
- Quando
, . Esta é uma combinação simples: constante menos a função identidade . - Regra usada: a derivada de uma constante é
; a derivada de é . Se há um sinal negativo, deriva-se normalmente multiplicando por esse coeficiente. - Assim, para
:
Passo 3
Derivada para
: derivada da exponencial com regra da cadeia.
- Quando
, . Esta é uma função composta com . - Regra usada (regra da cadeia): se
então . - Aqui
e . Portanto
Passo 4
Verificar continuidade em
(condição necessária para diferenciabilidade).
- Para ser diferenciável em
é necessário (mas não suficiente) que seja contínua em . Vamos checar os limites laterais e o valor em . - Valor à esquerda em
: . - Valor à direita em
: . - Valor da função em
(pela definição da função, usa-se a parte ): . - Conclusão:
. Logo é contínua em .
Passo 5
Calcular as derivadas laterais em
para verificar diferenciabilidade no ponto.
- Derivada lateral pela esquerda (usando a expressão
):
- Derivada lateral pela direita (usando a expressão
). Posso usar a regra já obtida para e tomar o limite em , ou fazer pela definição do limite. Usando a derivada encontrada para :
- Como
, as derivadas laterais coincidem em . Portanto é diferenciável em e .
Passo 6
Montar a derivada
como função em partes, reunindo os resultados.
- Para
: . - Em
: . - Para
: . - Escrevendo de forma compacta e adequada: