Encontrar f^{\prime}(x)\). \(f(x)= \begin{cases}1-x & , x \leq 0 \\\ e^{-x} & , x>0\end{cases}

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • O enunciado pede: encontrar f'(x)\), a derivada da função \(f\). - A função é dada por partes: \[f(x)= \begin{cases}1-x & , x \leq 0 \\[4pt] e^{-x} & , x>0\end{cases}
  • Resumo das informações úteis:
    • Para x\le 0\], \(f(x)=1-x.
    • Para x>0, f(x)=e^{-x}.
  • Note que há uma possível questão extra no ponto x=0: é preciso verificar se f é diferenciável em 0. Portanto teremos que calcular a derivada para x<0, para x>0 e também examinar o comportamento em x=0.]

Passo 2

Derivada para x<0: regra básica de derivação de polinômios/retas.
  • Quando x<0, f(x)=1-x. Esta é uma combinação simples: constante 1 menos a função identidade x.
  • Regra usada: a derivada de uma constante é 0; a derivada de x é 1. Se há um sinal negativo, deriva-se normalmente multiplicando por esse coeficiente.
  • Assim, para x<0:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1-x\bigr)=0-1=-1.

Passo 3

Derivada para x>0: derivada da exponencial com regra da cadeia.
  • Quando x>0, f(x)=e^{-x}. Esta é uma função composta e^{u} com u(x)=-x.
  • Regra usada (regra da cadeia): se g(x)=e^{u(x)} então g'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
  • Aqui u(x)=-x e u'(x)=-1. Portanto
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x},\qquad x>0.

Passo 4

Verificar continuidade em x=0 (condição necessária para diferenciabilidade).
  • Para ser diferenciável em 0 é necessário (mas não suficiente) que f seja contínua em 0. Vamos checar os limites laterais e o valor em 0.
  • Valor à esquerda em 0: f(0^-)=\lim_{x\to 0^-}(1-x)=1-0=1.
  • Valor à direita em 0: f(0^+)=\lim_{x\to 0^+}e^{-x}=e^{0}=1.
  • Valor da função em 0 (pela definição da função, usa-se a parte x\le0): f(0)=1-0=1.
  • Conclusão: f(0^-)=f(0^+)=f(0)=1. Logo f é contínua em 0.

Passo 5

Calcular as derivadas laterais em x=0 para verificar diferenciabilidade no ponto.
  • Derivada lateral pela esquerda (usando a expressão 1-x):
f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{(1-(0+h))-1}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1.
  • Derivada lateral pela direita (usando a expressão e^{-x}). Posso usar a regra já obtida para x>0 e tomar o limite em 0, ou fazer pela definição do limite. Usando a derivada encontrada para x>0:
f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}(-e^{-x})=-e^{0}=-1.
  • Como f'_-(0)=f'_+(0)=-1, as derivadas laterais coincidem em 0. Portanto f é diferenciável em 0 e f'(0)=-1.

Passo 6

Montar a derivada f'(x) como função em partes, reunindo os resultados.
  • Para x<0: f'(x)=-1.
  • Em x=0: f'(0)=-1.
  • Para x>0: f'(x)=-e^{-x}.
  • Escrevendo de forma compacta e adequada:
f'(x)= \begin{cases} -1 & , x\leq 0 \\[4pt] -e^{-x} & , x>0 \end{cases}]

Resposta

f'(x)= \begin{cases} -1 & , x\leq 0 \\[4pt] -e^{-x} & , x>0 \end{cases}]

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